Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1971

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные методы, найти следующие интегралы:

Задача 1971

∫dxx2+1−x2−1\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}.
Ответ:x4(x2+1+x2−1)+14ln⁡∣x+x2+1x+x2−1∣+C,∣x∣>1\begin{aligned}
&\dfrac{x}{4}\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\right)
+\dfrac{1}{4}\ln\left|
\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}}
\right|+C,
&\qquad |x|>1
\end{aligned}На двух промежутках постоянная CC выбирается независимо; формула непрерывно продолжается на x=±1x=\pm1.

Решение

Оба корня принимают действительные значения при ∣x∣⩾1|x|\geqslant1. При этомx2+1>x2−1\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2-1}поэтому знаменатель не обращается в нуль. Умножая числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, получаем1x2+1−x2−1=x2+1+x2−12\begin{aligned}
\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}
&=\dfrac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{2}
\end{aligned}Используем формулы∫x2+1 dx=x2x2+1+12ln⁡(x+x2+1)∫x2−1 dx=x2x2−1−12ln⁡∣x+x2−1∣\begin{aligned}
\int\sqrt{x^2+1}\,dx
&=\dfrac{x}{2}\sqrt{x^2+1}
+\dfrac{1}{2}\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\\
\int\sqrt{x^2-1}\,dx
&=\dfrac{x}{2}\sqrt{x^2-1}
-\dfrac{1}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|
\end{aligned}Эти формулы не требуется принимать без проверки: дифференцирование их правых частей даёт соответственно(x2x2+1+12ln⁡(x+x2+1))′=x2+1(x2x2−1−12ln⁡∣x+x2−1∣)′=x2−1\begin{aligned}
\left(
\dfrac{x}{2}\sqrt{x^2+1}
+\dfrac12\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)
\right)'
&=\sqrt{x^2+1}\\
\left(
\dfrac{x}{2}\sqrt{x^2-1}
-\dfrac12\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|
\right)'
&=\sqrt{x^2-1}
\end{aligned}Следовательно,∫dxx2+1−x2−1=x4(x2+1+x2−1)+14ln⁡∣x+x2+1x+x2−1∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}
&=\dfrac{x}{4}\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\right)+\dfrac{1}{4}\ln\left|
\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}}
\right|+C
\end{aligned}Формула задаёт первообразную на промежутках x<−1x<-1 и x>1x>1 и непрерывно продолжается на точки x=−1x=-1 и x=1x=1.
Демидович № 1971 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика