Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1933

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью приведения подынтегральных функций к рациональным функциям найти следующие интегралы:

Задача 1933

∫x dxx3(a−x)4\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt[4]{x^3(a-x)}} (a>0)(a>0).
Ответ:При t=xa−x4t=\sqrt[4]{\dfrac{x}{a-x}} имеемa42ln⁡t2+2t+1t2−2t+1+a22(arctg⁡(2t+1)+arctg⁡(2t−1))−x(a−x)34+C,0<x<a,a>0\begin{aligned}
&\dfrac{a}{4\sqrt2}\ln\dfrac{t^2+\sqrt2t+1}
{t^2-\sqrt2t+1}
+\dfrac{a}{2\sqrt2}\left(
\arctg(\sqrt2t+1)+\arctg(\sqrt2t-1)
\right)-\sqrt[4]{x(a-x)^3}+C,
\qquad 0\lt x\lt a,
\quad a>0
\end{aligned}

Решение

По условию a>0a>0. Поскольку корень четвёртой степени находится в знаменателе, необходимоx3(a−x)>0,x^3(a-x)>0,откуда 0<x<a0<x<a.

Решение состоит из трёх шагов: сначала выбранной подстановкой избавимся от корня, затем выделим производную рациональной дроби, а оставшийся интеграл ∫dt1+t4\int\dfrac{dt}{1+t^4} вычислим разложением на простейшие дроби. На промежутке 0<x<a0<x<a положимt=xa−x4,t>0t=\sqrt[4]{\dfrac{x}{a-x}},
\qquad t>0Тогдаx=at41+t4,dx=4at3(1+t4)2 dt,xx3(a−x)4=tx=\dfrac{at^4}{1+t^4},
\qquad
dx=\dfrac{4at^3}{(1+t^4)^2}\,dt,
\qquad
\dfrac{x}{\sqrt[4]{x^3(a-x)}}=tПоэтому исходный интеграл становится рациональным:∫x dxx3(a−x)4=4a∫t4(1+t4)2 dt\int\dfrac{x\,dx}{\sqrt[4]{x^3(a-x)}}
=4a\int\dfrac{t^4}{(1+t^4)^2}\,dtТак какddt(t1+t4)=1−3t4(1+t4)2\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{t}{1+t^4}\right)
=\dfrac{1-3t^4}{(1+t^4)^2}то4t4(1+t4)2=11+t4−ddt(t1+t4)\dfrac{4t^4}{(1+t^4)^2}
=\dfrac{1}{1+t^4}
-\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{t}{1+t^4}\right)Остаётся найти фиксированную первообразную
J(t)J(t) функции 11+t4\dfrac{1}{1+t^4}; промежуточную постоянную пока не записываем. Так как1+t4=(t2+2t+1)(t2−2t+1)1+t^4=(t^2+\sqrt2t+1)(t^2-\sqrt2t+1)ищем разложение с числителями At+BAt+B и −At+B-At+B. После приведения к общему знаменателю числитель равен2(B−2A)t2+2B2(B-\sqrt2A)t^2+2BСравнение с единицей даётB=12,A=122B=\dfrac{1}{2},
\qquad
A=\dfrac{1}{2\sqrt2}Следовательно,11+t4=t22+12t2+2t+1+−t22+12t2−2t+1\dfrac{1}{1+t^4}
=\dfrac{\dfrac{t}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2}}
{t^2+\sqrt2t+1}
+\dfrac{-\dfrac{t}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2}}
{t^2-\sqrt2t+1}ОбозначимD+=t2+2t+1,D−=t2−2t+1D_+=t^2+\sqrt2t+1,
\qquad
D_-=t^2-\sqrt2t+1Числители представляются через производные знаменателей:t22+12=142(2t+2)+14−t22+12=−142(2t−2)+14\begin{aligned}
\dfrac{t}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2}
&=\dfrac{1}{4\sqrt2}(2t+\sqrt2)+\dfrac{1}{4}\\
-\dfrac{t}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2}
&=-\dfrac{1}{4\sqrt2}(2t-\sqrt2)+\dfrac{1}{4}
\end{aligned}ПоэтомуJ=142∫2t+2D+ dt−142∫2t−2D− dt+14∫dtD++14∫dtD−\begin{aligned}
J
&=\dfrac{1}{4\sqrt2}\int\dfrac{2t+\sqrt2}{D_+}\,dt
-\dfrac{1}{4\sqrt2}\int\dfrac{2t-\sqrt2}{D_-}\,dt+\dfrac{1}{4}\int\dfrac{dt}{D_+}
+\dfrac{1}{4}\int\dfrac{dt}{D_-}
\end{aligned}Так какD+=12((2t+1)2+1),D−=12((2t−1)2+1),D_+=\dfrac{1}{2}\bigl((\sqrt2t+1)^2+1\bigr),
\qquad
D_-=\dfrac{1}{2}\bigl((\sqrt2t-1)^2+1\bigr),то∫dtD+=2arctg⁡(2t+1),∫dtD−=2arctg⁡(2t−1)\int\dfrac{dt}{D_+}
=\sqrt2\arctg(\sqrt2t+1),
\qquad
\int\dfrac{dt}{D_-}
=\sqrt2\arctg(\sqrt2t-1)После подстановки получаемJ=142ln⁡t2+2t+1t2−2t+1+122(arctg⁡(2t+1)+arctg⁡(2t−1))\begin{aligned}
J
&=\dfrac{1}{4\sqrt2}\ln\dfrac{t^2+\sqrt2t+1}
{t^2-\sqrt2t+1}+\dfrac{1}{2\sqrt2}\left(
\arctg(\sqrt2t+1)+\arctg(\sqrt2t-1)
\right)
\end{aligned}Следовательно,∫x dxx3(a−x)4=aJ−at1+t4+C\int\dfrac{x\,dx}{\sqrt[4]{x^3(a-x)}}
=aJ-\dfrac{at}{1+t^4}+CПосколькуat1+t4=x(a−x)34\dfrac{at}{1+t^4}=\sqrt[4]{x(a-x)^3}возвращаемся к переменной xx.
Демидович № 1933 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика