Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1926

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью приведения подынтегральных функций к рациональным функциям найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sqrt x}

Ответ:

2\sqrt{x}-2\ln(1+\sqrt{x})+C, \qquad x\geqslant0

Решение

В вещественных числах подынтегральная функция определена при

x\geqslant0

. Чтобы свести её к рациональной функции, положим

t=\sqrt{x}, \qquad x=t^2, \qquad dx=2t\,dt

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{1+\sqrt{x}} &=2\int\dfrac{t}{1+t}\,dt=\\ &=2\int\left(1-\dfrac{1}{1+t}\right)dt=\\ &=2t-2\ln(1+t)+C\end{aligned}

Возвращаясь к

x

, получаем

\int\dfrac{dx}{1+\sqrt{x}} =2\sqrt{x}-2\ln(1+\sqrt{x})+C

При

x>0

производная найденной функции равна

\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}

. Эта функция стремится к

1

при

x\to0^+

. По теореме Лагранжа правая производная непрерывного продолжения в точке

0

также равна

1