Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1943

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найдите интеграл.

\displaystyle\int\frac{x^3}{\sqrt{1+2x-x^2}}\,dx

Ответ:

\begin{aligned} &-\dfrac{2x^2+5x+19}{6}\sqrt{1+2x-x^2} +4\arcsin\dfrac{x-1}{\sqrt2}+C, \qquad 1-\sqrt2<x<1+\sqrt2\end{aligned}

Решение

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:

q=1+2x-x^2=2-(x-1)^2>0

Поэтому

1-\sqrt2<x<1+\sqrt2

Применим формулу понижения степени. Для многочлена

Q(x)

имеем

\dfrac{d}{dx}\bigl(Q\sqrt q\bigr) =\dfrac{Q'q+\dfrac{1}{2}Qq'}{\sqrt q}

Ищем многочлен

Q=Ax^2+Bx+D

и постоянную

\lambda

так, чтобы

x^3=Q'q+\dfrac{1}{2}Qq'+\lambda

После раскрытия скобок имеем

Q'q+\dfrac{1}{2}Qq' =-3Ax^3+(5A-2B)x^2+(2A+3B-D)x+(B+D)

Сравнение коэффициентов даёт систему

\begin{cases} -3A=1\\ 5A-2B=0\\ 2A+3B-D=0\\ B+D+\lambda=0\end{cases}

Из неё последовательно находим

A=-\dfrac{1}{3}, \qquad B=\dfrac{5A}{2}=-\dfrac{5}{6}

D=2A+3B=-\dfrac{19}{6}, \qquad \lambda=-B-D=4

Таким образом,

Q=-\dfrac{2x^2+5x+19}{6}

\int\dfrac{x^3\,dx}{\sqrt q} =Q\sqrt q+4\int\dfrac{dx}{\sqrt q}

Поскольку

\int\dfrac{dx}{\sqrt{2-(x-1)^2}} =\arcsin\dfrac{x-1}{\sqrt2}

получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{x^3\,dx}{\sqrt{1+2x-x^2}} &=-\dfrac{2x^2+5x+19}{6}\sqrt{1+2x-x^2}+4\arcsin\dfrac{x-1}{\sqrt2}+C\end{aligned}