Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3

Демидович § 3. Интегрирование иррациональных функций

Условия, ответы и подробные решения задач 1926–1990

Задачи 1926–1990

65 из 65 с разбором

Применяя различные методы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{(x^2-1)\,dx}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}

\displaystyle\int\frac{(x^2+1)\,dx}{(x^2-1)\sqrt{x^4+1}}

\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x^4+2x^2-1}}

\displaystyle\int\frac{(x^2+1)\,dx}{x\sqrt{x^4+x^2+1}}

Доказать, что нахождение интеграла

\int R\bigl(x,\sqrt{ax+b},\sqrt{cx+d}\bigr)\,dx,

где

R

--- рациональная функция, сводится к интегрированию рациональной функции.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\sqrt{x^3+x^4}\,dx

\displaystyle\int\frac{\sqrt x}{(1+\sqrt[4]x)^2}\,dx

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}}

\displaystyle\int\frac{x^5\,dx}{\sqrt{1-x^2}}

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt[3]{1+x^3}}

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt[4]{1+x^4}}

\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt[6]{1+x^6}}

\displaystyle\int\frac{dx}{x^3\sqrt[5]{1+\frac1x}}

\displaystyle\int\sqrt[3]{3x-x^3}\,dx

В каких случаях интеграл

\displaystyle\int\sqrt{1+x^m}\,dx

, где

m

--- рациональное число, представляет собой элементарную функцию?

Задачи 51–65 из 65