Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1948

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найдите интеграл.

\displaystyle\int\frac{dx}{x^4\sqrt{x^2-1}}

Ответ:

\dfrac{(2x^2+1)\sqrt{x^2-1}}{3x^3}+C, \qquad |x|>1

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:

x^2-1>0, \qquad |x|>1

Обозначим

s=\sqrt{x^2-1}, \qquad I_n=\int\dfrac{dx}{x^n s}

Имеем

\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{s}{x^{n-1}}\right) =-\dfrac{n-2}{x^{n-2}s} +\dfrac{n-1}{x^n s}

Следовательно, формула понижения степени имеет вид

I_n=\dfrac{s}{(n-1)x^{n-1}} +\dfrac{n-2}{n-1}I_{n-2}

Для

n=4

n=2

получаем

I_4=\dfrac{s}{3x^3}+\dfrac{2}{3}I_2, \qquad I_2=\dfrac{s}{x}

Последнее равенство проверяется непосредственно:

\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{s}{x}\right) =\dfrac{1}{x^2s}

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x^4\sqrt{x^2-1}} &=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} +\dfrac{2\sqrt{x^2-1}}{3x}=\\ &=\dfrac{(2x^2+1)\sqrt{x^2-1}}{3x^3}+C\end{aligned}