Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1958

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти

\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)y}\,dx

, где

y=\sqrt{ax^2+bx+c}

, разлагая рациональную функцию

\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}

на простейшие дроби.

\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+1)\sqrt{x^2-1}}

Ответ:

\dfrac1{2\sqrt2}\ln \left| \dfrac{\sqrt2x+\sqrt{x^2-1}} {\sqrt2x-\sqrt{x^2-1}} \right|+C,\qquad x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)

Решение

Дробь

\dfrac1{x^2+1}

раскладывать дальше не нужно: знаменатель не имеет действительных корней. Обозначим

y=\sqrt{x^2-1}

На области определения

|x|>1

, поэтому

x\ne0

и можно положить

t=\dfrac{y}{x}

Так как

y'=\dfrac{x}{y}

, получаем

dt=\dfrac{dx}{x^2y}

Следовательно,

\dfrac{dx}{(x^2+1)y} =\dfrac{x^2}{x^2+1}\,dt

Из равенства

t^2=1-\dfrac1{x^2}

следует

x^2=\dfrac1{1-t^2}

Отсюда

\dfrac{x^2}{x^2+1} =\dfrac{1}{2-t^2}

Поэтому

I=\int\dfrac{x^2}{x^2+1}\,dt =\int\dfrac{dt}{2-t^2}

Разложим последнюю дробь:

\dfrac1{2-t^2} =\dfrac1{2\sqrt2}\left( \dfrac1{\sqrt2+t}+\dfrac1{\sqrt2-t} \right)

Следовательно,

\begin{aligned} I &=\dfrac1{2\sqrt2}\ln \left| \dfrac{\sqrt2+t}{\sqrt2-t} \right|+C=\\ &=\dfrac1{2\sqrt2}\ln \left| \dfrac{\sqrt2x+y}{\sqrt2x-y} \right|+C\end{aligned}

На двух промежутках области определения постоянная

C

может принимать независимые значения.