Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1967

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подстановки Эйлера:

Задача 1967

∫dx1+1−2x−x2\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sqrt{1-2x-x^2}}.
Ответ:Приt=−1+2−xx+1+2t=\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt2-x}{x+1+\sqrt2}}имеем−2arctg⁡t+ln⁡∣t+2−1t+2+1∣+C,−1−2<x<−1+2-2\arctg t
+\ln\left|
\dfrac{t+\sqrt2-1}{t+\sqrt2+1}
\right|+C,
\qquad -1-\sqrt2<x<-1+\sqrt2Подынтегральная функция определена на [−1−2;−1+2][-1-\sqrt2;-1+\sqrt2]; формула непрерывно продолжается к концам этого отрезка.

Решение

Положимα=−1−2,β=−1+2\alpha=-1-\sqrt2,
\qquad
\beta=-1+\sqrt2Тогда1−2x−x2=(x−α)(β−x)1-2x-x^2=(x-\alpha)(\beta-x)поэтому полная область определения подынтегральной функции равна [α;β][\alpha;\beta].

На внутреннем промежутке (α;β)(\alpha;\beta) применим третью подстановку Эйлераt=1−2x−x2x−α=β−xx−α,t>0t=\dfrac{\sqrt{1-2x-x^2}}{x-\alpha}
=\sqrt{\dfrac{\beta-x}{x-\alpha}},
\qquad t>0Из равенства t2(x−α)=β−xt^2(x-\alpha)=\beta-x находимx=β+αt21+t21−2x−x2=22t1+t2dx=−42t(1+t2)2 dt\begin{aligned}
x=\dfrac{\beta+\alpha t^2}{1+t^2}\\
\sqrt{1-2x-x^2}=\dfrac{2\sqrt2t}{1+t^2}\\
dx=-\dfrac{4\sqrt2t}{(1+t^2)^2}\,dt
\end{aligned}Знаменатель исходной функции также выражается через tt:1+1−2x−x2=t2+22t+11+t21+\sqrt{1-2x-x^2}
=\dfrac{t^2+2\sqrt2t+1}{1+t^2}Используем разложение−2t2+1+2t2+22t+1=2(t2+1)−2(t2+22t+1)(t2+1)(t2+22t+1)==−42t(t2+1)(t2+22t+1)\begin{aligned}
-\dfrac{2}{t^2+1}
+\dfrac{2}{t^2+2\sqrt2t+1}
&=\dfrac{2(t^2+1)-2(t^2+2\sqrt2t+1)}
{(t^2+1)(t^2+2\sqrt2t+1)}=\\
&=-\dfrac{4\sqrt2t}
{(t^2+1)(t^2+2\sqrt2t+1)}
\end{aligned}Следовательно,I=∫dx1+1−2x−x2=−42∫t dt(1+t2)(t2+22t+1)==∫(−2t2+1+2t2+22t+1)dt==−2arctg⁡t+ln⁡∣t+2−1t+2+1∣+C\begin{aligned}
I=\int\dfrac{dx}{1+\sqrt{1-2x-x^2}}
&=-4\sqrt2\int\dfrac{t\,dt}
{(1+t^2)(t^2+2\sqrt2t+1)}=\\
&=\int\left(
-\dfrac{2}{t^2+1}
+\dfrac{2}{t^2+2\sqrt2t+1}
\right)dt=\\
&=-2\arctg t
+\ln\left|
\dfrac{t+\sqrt2-1}{t+\sqrt2+1}
\right|+C
\end{aligned}Во втором интеграле использовано равенствоt2+22t+1=(t+2)2−1t^2+2\sqrt2t+1=(t+\sqrt2)^2-1При приближении к концам области определенияx→α+⟹t→+∞,x→β−⟹t→0x\to\alpha^+
\quad\Longrightarrow\quad
t\to+\infty,
\qquad
x\to\beta^-
\quad\Longrightarrow\quad
t\to0Поэтому при x→α+x\to\alpha^+ найденное выражение стремится к −π-\pi, а при x→β−x\to\beta^- — кln⁡2−12+1\ln\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}Оба предела конечны, следовательно, формула непрерывно продолжается к обеим допустимым граничным точкам.
Демидович № 1967 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика