Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1975

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные методы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\sqrt{x(x+1)}}{\sqrt x+\sqrt{x+1}}\,dx

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} +\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} -\dfrac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}} +\dfrac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C, &\qquad x>0\end{aligned}

Формула непрерывно продолжается на

x=0

Решение

Все корни принимают действительные значения при

x\geqslant0

, причём знаменатель положителен. Умножая на сопряжённое выражение, получаем

\dfrac{1}{\sqrt x+\sqrt{x+1}} =\sqrt{x+1}-\sqrt x

Поэтому

\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{x(x+1)}}{\sqrt x+\sqrt{x+1}} &=\sqrt{x(x+1)}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt x\right)=\\ &=(x+1)\sqrt x-x\sqrt{x+1}\end{aligned}

Первое слагаемое интегрируется непосредственно:

\int(x+1)\sqrt x\,dx =\dfrac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}

Во втором слагаемом положим

u=x+1

. Тогда

\begin{aligned} \int x\sqrt{x+1}\,dx &=\int(u-1)\sqrt u\,du=\\ &=\dfrac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{\sqrt{x(x+1)}}{\sqrt x+\sqrt{x+1}}\,dx &=\dfrac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} +\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\dfrac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}} +\dfrac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C\end{aligned}

Формула задаёт первообразную при

x>0

и непрерывно продолжается на

x=0