Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1963

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Приводя квадратичные трёхчлены к каноническому виду, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{(x+1)\,dx}{(x^2+x+1)\sqrt{x^2+x+1}}

Ответ:

\dfrac{2(x-1)}{3\sqrt{x^2+x+1}}+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Обозначим

q=x^2+x+1 =\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0

Поскольку

x+1=\dfrac{q'}{2}+\dfrac{1}{2}

положим

u=x+\dfrac{1}{2}

a^2=\dfrac{3}{4}

. Нужная формула проверяется непосредственным дифференцированием:

\begin{aligned} \left(\dfrac{u}{a^2\sqrt{u^2+a^2}}\right)' =\dfrac1{a^2\sqrt{u^2+a^2}} & -\dfrac{u^2}{a^2(u^2+a^2)^{\frac32}}=\\ &=\dfrac1{(u^2+a^2)^{\frac32}}\end{aligned}

Следовательно,

\int\dfrac{du}{(u^2+a^2)^{\frac32}} =\dfrac{u}{a^2\sqrt{u^2+a^2}}+C

Отсюда

\begin{aligned} \dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx}{q^{\frac{3}{2}}} &=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{x+\dfrac{1}{2}} {\dfrac{3}{4}\sqrt q}=\dfrac{2x+1}{3\sqrt q}\end{aligned}

Теперь почленно интегрируем исходное выражение:

\begin{aligned} \int\dfrac{x+1}{q\sqrt q}\,dx &=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{q'}{q^{\frac{3}{2}}}\,dx +\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx}{q^{\frac{3}{2}}}=\\ &=-\dfrac{1}{\sqrt q} +\dfrac{2x+1}{3\sqrt q}+C=\\ &=\dfrac{2(x-1)}{3\sqrt{x^2+x+1}}+C\end{aligned}

Ограничений на

x

нет.