Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1968

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя подстановки Эйлера:

\displaystyle\int x\sqrt{x^2-2x+2}\,dx

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{1}{3}\bigl(x^2-2x+2\bigr)^{\dfrac{3}{2}} +\dfrac{1}{2}(x-1)\sqrt{x^2-2x+2}+\dfrac{1}{2}\ln\bigl( x-1+\sqrt{x^2-2x+2} \bigr)+C, \qquad x\in\mathbb R\end{aligned}

Решение

Приведём квадратный трёхчлен к каноническому виду:

x^2-2x+2=(x-1)^2+1

Положим

u=x-1, \qquad s=\sqrt{u^2+1}

Тогда

I=\int(u+1)s\,du =\int us\,du+\int s\,du

В первом интеграле

s\,ds=u\,du

, поэтому

\int us\,du =\int s(s\,ds) =\int s^2\,ds =\dfrac{s^3}{3}

Для второго интеграла применим подстановку Эйлера

t=u+s>0

Из равенства

(s+u)(s-u)=1

следуют формулы

u=\dfrac{1}{2}\left(t-\dfrac{1}{t}\right), \qquad s=\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{1}{t}\right), \qquad du=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{t^2}\right)dt

Следовательно,

\begin{aligned} \int s\,du &=\dfrac{1}{4}\int\left( t+\dfrac{2}{t}+\dfrac{1}{t^3} \right)dt=\\ &=\dfrac{t^2}{8}+\dfrac{1}{2}\ln t -\dfrac{1}{8t^2}+C=\\ &=\dfrac{1}{2}\bigl(us+\ln(u+s)\bigr)+C\end{aligned}

Возвращаясь к

x

, получаем искомую первообразную на всей числовой прямой.