Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1929

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью приведения подынтегральных функций к рациональным функциям найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{1-\sqrt{x+1}}{1+\sqrt[3]{x+1}}\,dx

Ответ:

\begin{aligned} F(t) &=-\dfrac{6}{7}t^7+\dfrac{6}{5}t^5 +\dfrac{3}{2}t^4-2t^3-3t^2+6t+3\ln(1+t^2)-6\arctg t+C, \qquad t=\sqrt[6]{x+1}, \quad x\geqslant-1\end{aligned}

Решение

В вещественных числах подынтегральная функция определена при

x\geqslant-1

. Чтобы одновременно избавиться от квадратного и кубического корней, положим

t=\sqrt[6]{x+1}, \qquad x=t^6-1, \qquad dx=6t^5\,dt

При этом

\sqrt{x+1}=t^3

\sqrt[3]{x+1}=t^2

, поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{1-\sqrt{x+1}} {1+\sqrt[3]{x+1}}\,dx &=6\int\dfrac{t^5(1-t^3)}{1+t^2}\,dt\end{aligned}

Результат деления многочленов проверяется равенством

\begin{aligned} 6t^5(1-t^3) &=(1+t^2) \left(-6t^6+6t^4+6t^3-6t^2-6t+6\right)+6t-6\end{aligned}

Поэтому

\begin{aligned} \dfrac{6t^5(1-t^3)}{1+t^2} &=-6t^6+6t^4+6t^3-6t^2-6t+6+\dfrac{6t-6}{1+t^2}\end{aligned}

Интегрируя почленно, получаем

\int\dfrac{1-\sqrt{x+1}} {1+\sqrt[3]{x+1}}\,dx =F(t)+C

где

\begin{aligned} F(t) &=-\dfrac{6}{7}t^7+\dfrac{6}{5}t^5 +\dfrac{3}{2}t^4-2t^3-3t^2+6t+3\ln(1+t^2)-6\arctg t\end{aligned}

Возвращаясь к исходной переменной, получаем

\int\dfrac{1-\sqrt{x+1}} {1+\sqrt[3]{x+1}}\,dx =F\!\left(\sqrt[6]{x+1}\right)+C

Полученная формула непрерывно продолжается к

x=-1

, и её правая производная в этой точке равна значению исходной функции.