Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1940

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы от простейших квадратичных иррациональностей:

\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2+2x+2}}x\,dx

Ответ:

\begin{aligned} &\sqrt{x^2+2x+2} +\ln\bigl(x+1+\sqrt{x^2+2x+2}\bigr)+\sqrt2\ln\left| \dfrac{x+\sqrt{x^2+2x+2}-\sqrt2} {x+\sqrt{x^2+2x+2}+\sqrt2} \right|+C, \qquad x\ne0\end{aligned}

На промежутках

(-\infty;0)

(0;+\infty)

постоянные интегрирования могут быть различными.

Решение

Обозначим

s=\sqrt{x^2+2x+2}=\sqrt{(x+1)^2+1}

Подынтегральная функция определена при

x\ne0

. Поскольку

s^2=x^2+2x+2

, имеем

\dfrac{s}{x} =\dfrac{s^2}{xs} =\dfrac{x+2}{s}+\dfrac{2}{xs}

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{s}{x}\,dx &=\int\dfrac{x+1}{s}\,dx +\int\dfrac{dx}{s} +2\int\dfrac{dx}{xs}=\\ &=s+\ln(x+1+s)+2J,\end{aligned}

где

J

обозначает фиксированную первообразную, а общую постоянную добавим после вычислений:

J=\int\dfrac{dx}{x\sqrt{(x+1)^2+1}}

Для вычисления

J

применим эйлерову подстановку

u=x+1, \qquad z=u+\sqrt{u^2+1}=x+1+s

Она выбрана потому, что сопряжённое выражение является обратным к

z

. Поэтому и

u

, и корень

\sqrt{u^2+1}

выражаются через

z

рационально, а интеграл превращается в рациональный.

Поскольку

\bigl(\sqrt{u^2+1}+u\bigr) \bigl(\sqrt{u^2+1}-u\bigr)=1,

получаем

\begin{aligned} u&=\dfrac{1}{2}\left(z-\dfrac{1}{z}\right), &s&=\dfrac{1}{2}\left(z+\dfrac{1}{z}\right),\\ x&=u-1=\dfrac{z^2-2z-1}{2z}, &dx&=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{z^2}\right)dz\end{aligned}

Следовательно,

J

сводится к рациональному интегралу:

\begin{aligned} J &=\int \dfrac{\dfrac{z^2+1}{2z^2}\,dz} {\dfrac{z^2-2z-1}{2z}\cdot \dfrac{z^2+1}{2z}}=\\ &=2\int\dfrac{dz}{z^2-2z-1} =2\int\dfrac{dz}{(z-1)^2-2}=\\ &=\dfrac{1}{\sqrt2}\ln\left| \dfrac{z-1-\sqrt2}{z-1+\sqrt2} \right|\end{aligned}

Кроме того,

x+1+s>0

при всех

x

, поскольку

s>|x+1|

. Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{\sqrt{x^2+2x+2}}{x}\,dx &=s+\ln(x+1+s)+\sqrt2\ln\left| \dfrac{x+s-\sqrt2}{x+s+\sqrt2} \right|+C\end{aligned}

Оба выражения в дроби второго логарифма ненулевые при

x\ne0

, поскольку

(x+s-\sqrt2)(x+s+\sqrt2) =2x(x+s+1),

x+s+1>0

. Таким образом, логарифмы определены на обоих промежутках области исходной функции.