Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1959

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти

\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)y}\,dx

, где

y=\sqrt{ax^2+bx+c}

, разлагая рациональную функцию

\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}

на простейшие дроби.

\displaystyle\int\frac{dx}{(1-x^4)\sqrt{1+x^2}}

Ответ:При

y=\sqrt{1+x^2}

\dfrac{x}{2y} +\dfrac1{4\sqrt2}\ln \left| \dfrac{y+\sqrt2x}{y-\sqrt2x} \right|+C, \qquad x\notin\{-1,1\}

Решение

Корень

\sqrt{1+x^2}

положителен при любом действительном

x

. Ограничение создаёт только множитель

1-x^4

в знаменателе, поэтому область определения задаётся условием

x\ne\pm1

.

Обозначим

y=\sqrt{1+x^2}

. Сначала представим рациональную функцию в виде

\dfrac1{1-x^4} =\dfrac12\left(\dfrac1{1-x^2}+\dfrac1{1+x^2}\right)

Далее раскладываем первую дробь:

\dfrac1{1-x^2} =\dfrac12\left(\dfrac1{1-x}+\dfrac1{1+x}\right)

Следовательно,

\dfrac1{1-x^4} =\dfrac14\left(\dfrac1{1-x}+\dfrac1{1+x}\right) +\dfrac1{2(1+x^2)}

Первые два простейших слагаемых удобно снова объединить перед интегрированием:

\dfrac14\left(\dfrac1{1-x}+\dfrac1{1+x}\right) =\dfrac1{2(1-x^2)}

Поэтому

I=\dfrac12\int\dfrac{dx}{(1-x^2)y} +\dfrac12\int\dfrac{dx}{y^3}

Второй интеграл вычисляется непосредственно:

\left(\dfrac{x}{y}\right)'=\dfrac1{y^3}

В первом интеграле положим

t=\dfrac{x}{y}

Тогда

dt=\dfrac{dx}{y^3}

. Кроме того,

\dfrac{dx}{(1-x^2)y} =\dfrac{y^2}{1-x^2}\,dt =\dfrac{1+x^2}{1-x^2}\,dt

Поскольку

t^2=\dfrac{x^2}{1+x^2}

то

\dfrac{1+x^2}{1-x^2} =\dfrac1{1-2t^2}

Следовательно,

\int\dfrac{dx}{(1-x^2)y} =\int\dfrac{dt}{1-2t^2}

Разложение на простые дроби даёт

\dfrac1{1-2t^2} =\dfrac1{2}\left( \dfrac1{1+\sqrt2t}+\dfrac1{1-\sqrt2t} \right)

Отсюда

\int\dfrac{dt}{1-2t^2} =\dfrac1{2\sqrt2}\ln \left| \dfrac{1+\sqrt2t}{1-\sqrt2t} \right|

Возвращаясь к

x

, получаем

I=\dfrac{x}{2y} +\dfrac1{4\sqrt2}\ln \left| \dfrac{y+\sqrt2x}{y-\sqrt2x} \right|+C

Формула рассматривается отдельно на каждом промежутке области определения; на разных промежутках постоянная

C

может принимать независимые значения.