Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1961

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Приводя квадратичные трёхчлены к каноническому виду, вычислить следующие интегралы:

Задача 1961

∫dx(x2+x+1)x2+x−1\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+x+1)\sqrt{x^2+x-1}}.
Ответ:16ln⁡∣2(2x+1)+6x2+x−12(2x+1)−6x2+x−1∣+C\dfrac{1}{\sqrt6}\ln\left|
\dfrac{2(2x+1)+\sqrt6\sqrt{x^2+x-1}}
{2(2x+1)-\sqrt6\sqrt{x^2+x-1}}
\right|+CФормула справедлива приx<−1−52илиx>−1+52x<\dfrac{-1-\sqrt5}{2}
\quad\text{или}\quad
x>\dfrac{-1+\sqrt5}{2}на этих промежутках постоянные могут быть различными.

Решение

Подынтегральная функция определена приx2+x−1>0x^2+x-1>0то есть на промежуткахx<−1−52,x>−1+52x<\dfrac{-1-\sqrt5}{2},
\qquad
x>\dfrac{-1+\sqrt5}{2}Приведём квадратные многочлены к каноническому виду. Положимu=x+12u=x+\dfrac{1}{2}Тогдаx2+x+1=u2+34,x2+x−1=u2−54x^2+x+1=u^2+\dfrac{3}{4},
\qquad
x^2+x-1=u^2-\dfrac{5}{4}Обозначимs=u2−54,t=sus=\sqrt{u^2-\dfrac{5}{4}},
\qquad
t=\dfrac{s}{u}На рассматриваемых промежутках u≠0u\ne0. Дифференцируя tt, получаемdt=54u2s du,u2=54(1−t2)dt=\dfrac{5}{4u^2s}\,du,
\qquad
u^2=\dfrac{5}{4(1-t^2)}Из первого равенства следуетdus=4u25 dt\dfrac{du}{s}=\dfrac{4u^2}{5}\,dtС учётом выражения для u2u^2 имеем4u25(u2+34)=48−3t2\dfrac{4u^2}{5\left(u^2+\dfrac{3}{4}\right)}
=\dfrac{4}{8-3t^2}Для вычисления нужного интеграла разложим дробь:1a2−b2t2=12a(1a−bt+1a+bt)\dfrac{1}{a^2-b^2t^2}
=\dfrac{1}{2a}\left(
\dfrac{1}{a-bt}+\dfrac{1}{a+bt}
\right)Интегрируем полученные дроби:∫dta2−b2t2=12abln⁡∣a+bta−bt∣+C\int\dfrac{dt}{a^2-b^2t^2}
=\dfrac{1}{2ab}\ln\left|
\dfrac{a+bt}{a-bt}
\right|+Cпри a=22a=2\sqrt2 и b=3b=\sqrt3. Поэтому∫dx(x2+x+1)x2+x−1=∫du(u2+34)s==∫4u25(u2+34) dt=4∫dt8−3t2=16ln⁡∣22+3t22−3t∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{(x^2+x+1)\sqrt{x^2+x-1}}
&=\int\dfrac{du}{\left(u^2+\dfrac{3}{4}\right)s}=\\
&=\int\dfrac{4u^2}{5\left(u^2+\dfrac{3}{4}\right)}\,dt=4\int\dfrac{dt}{8-3t^2}=\dfrac{1}{\sqrt6}
\ln\left|
\dfrac{2\sqrt2+\sqrt3t}{2\sqrt2-\sqrt3t}
\right|+C
\end{aligned}Из равенства t2=1−54u2t^2=1-\dfrac{5}{4u^2} следует ∣t∣<1|t|<1, поэтому оба выражения под логарифмом отличны от нуля.

Возвращаясь к xx, имеемt=2x2+x−12x+1t=\dfrac{2\sqrt{x^2+x-1}}{2x+1}Следовательно,∫dx(x2+x+1)x2+x−1=16ln⁡∣2(2x+1)+6x2+x−12(2x+1)−6x2+x−1∣+C\int\dfrac{dx}{(x^2+x+1)\sqrt{x^2+x-1}}
=\dfrac{1}{\sqrt6}\ln\left|
\dfrac{2(2x+1)+\sqrt6\sqrt{x^2+x-1}}
{2(2x+1)-\sqrt6\sqrt{x^2+x-1}}
\right|+CНа двух промежутках области определения постоянные интегрирования выбираются независимо.
Демидович № 1961 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика