Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1973

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные методы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt2+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}

Ответ:

\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} -\dfrac{1}{\sqrt2}\arcsin x+C, \qquad -1<x<1

Формула непрерывно продолжается на

x=\pm1

Решение

Оба корня определены при

-1\leqslant x\leqslant1

, а знаменатель на этом отрезке положителен. На интервале

-1<x<1

положим

x=\sin2t, \qquad -\dfrac{\pi}{4}<t<\dfrac{\pi}{4}

В выбранном диапазоне

\cos t\geqslant|\sin t|

, поэтому

\begin{aligned} \sqrt{1+x}&=\cos t+\sin t\\ \sqrt{1-x}&=\cos t-\sin t\\ dx&=2\cos2t\,dt\end{aligned}

Для сокращения дроби используем тождество

\begin{aligned} 2\cos2t &=4\cos^2t-2 =(2\cos t-\sqrt2)(2\cos t+\sqrt2)\end{aligned}

При этом

2\cos t+\sqrt2>0

на выбранном интервале. Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sqrt2+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}} &=\int\dfrac{2\cos2t}{\sqrt2+2\cos t}\,dt=\\ &=\int(2\cos t-\sqrt2)\,dt =2\sin t-\sqrt2\,t+C\end{aligned}

Из сделанной подстановки следует

2\sin t=\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}, \qquad t=\dfrac{1}{2}\arcsin x

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sqrt2+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}} &=\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} -\dfrac{1}{\sqrt2}\arcsin x+C\end{aligned}

Полученная формула непрерывно продолжается на концы отрезка

x=\pm1