Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1930

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью приведения подынтегральных функций к рациональным функциям найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(1+\sqrt[4]x)^3\sqrt x}

Ответ:

-\dfrac4{1+\sqrt[4]x}+\dfrac2{(1+\sqrt[4]x)^2}+C,\qquad x>0

Решение

Область определения:

x>0

. Положим

t=\sqrt[4]x

. Тогда

\sqrt x=t^2

dx=4t^3\,dt

, поэтому

I=4\int\dfrac{t}{(1+t)^3}\,dt=4\int\left(\dfrac1{(1+t)^2}-\dfrac1{(1+t)^3}\right)dt

Следовательно,

I=-\dfrac4{1+t}+\dfrac2{(1+t)^2}+C=-\dfrac4{1+\sqrt[4]x}+\dfrac2{(1+\sqrt[4]x)^2}+C