Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1956

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти

\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)y}\,dx

, где

y=\sqrt{ax^2+bx+c}

, разлагая рациональную функцию

\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}

на простейшие дроби.

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(x^2-3x+2)\sqrt{x^2-4x+3}}

Ответ:

-\dfrac{\sqrt{x^2-4x+3}}{x-1} +2\arctg \left(\sqrt{x^2-4x+3}\right)+C,\qquad x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)

Решение

Подкоренное выражение стоит в знаменателе, поэтому

x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0

Следовательно,

x<1

или

x>3

. На этих промежутках множители

x-1

x-2

также не обращаются в нуль, поэтому дополнительных ограничений нет.

Обозначим

y=\sqrt{x^2-4x+3}

Ищем разложение рациональной функции в виде

\dfrac{x}{(x-1)(x-2)} =\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-2}

После умножения на

(x-1)(x-2)

получаем

x=A(x-2)+B(x-1)

Подставляя

x=1

x=2

, находим

A=-1, \qquad B=2

Поэтому

\dfrac{x}{x^2-3x+2} =-\dfrac1{x-1}+\dfrac2{x-2}

Положим

u=x-2

. Тогда

y=\sqrt{u^2-1}, \qquad x-1=u+1

Для первого слагаемого используем производную

\left(\dfrac{y}{u+1}\right)' =\dfrac1{(u+1)y}

Кроме того, поскольку

1+y^2=u^2

, имеем

(\arctg y)' =\dfrac{y'}{1+y^2} =\dfrac{u}{yu^2} =\dfrac1{uy}

Следовательно,

I=-\dfrac{y}{u+1}+2\arctg y+C =-\dfrac{y}{x-1}+2\arctg y+C

Формула рассматривается отдельно на каждом промежутке области определения; постоянные на этих промежутках независимы.