Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1945

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найдите интеграл.

Задача 1945

∫x4a2−x2 dx\displaystyle\int x^4\sqrt{a^2-x^2}\,dx.
Ответ:xa2−x248(8x4−2a2x2−3a4)+a616arcsin⁡x∣a∣+C,a≠0,∣x∣<∣a∣\begin{aligned}
&\dfrac{x\sqrt{a^2-x^2}}{48}
\left(8x^4-2a^2x^2-3a^4\right)
+\dfrac{a^6}{16}\arcsin\dfrac{x}{|a|}+C,
&\qquad a\ne0,
\qquad |x|<|a|
\end{aligned}Формула непрерывно продолжается на точки x=±∣a∣x=\pm|a|.

Решение

Если a=0a=0, подынтегральная функция принимает действительные значения только при x=0x=0, поэтому неопределённый интеграл на промежутке не рассматривается. Пусть a≠0a\ne0 иα=∣a∣>0,s=α2−x2\alpha=|a|>0,
\qquad
s=\sqrt{\alpha^2-x^2}Вычисления проводим на интервале −α<x<α-\alpha<x<\alpha. Заметим, чтоx4a2−x2=a2x4−x6a2−x2x^4\sqrt{a^2-x^2}
=\dfrac{a^2x^4-x^6}{\sqrt{a^2-x^2}}Таким образом, подынтегральная функция имеет требуемый вид, а следующая рекуррентная формула реализует понижение степени. ПоложимJn=∫x2ns dxJ_n=\int x^{2n}s\,dxИнтегрируя по частям и учитывая, что xs dx=−13 d(s3)x s\,dx=-\dfrac{1}{3}\,d(s^3), получаемJn=−x2n−1s33+2n−13∫x2n−2s3 dx==−x2n−1s33+(2n−1)α23Jn−1−2n−13Jn\begin{aligned}
J_n
&=-\dfrac{x^{2n-1}s^3}{3}
+\dfrac{2n-1}{3}\int x^{2n-2}s^3\,dx=\\
&=-\dfrac{x^{2n-1}s^3}{3}
+\dfrac{(2n-1)\alpha^2}{3}J_{n-1}
-\dfrac{2n-1}{3}J_n
\end{aligned}Перенося последнее слагаемое в левую часть, находим формулу понижения степениJn=−x2n−1s32(n+1)+(2n−1)α22(n+1)Jn−1J_n=-\dfrac{x^{2n-1}s^3}{2(n+1)}
+\dfrac{(2n-1)\alpha^2}{2(n+1)}J_{n-1}Для n=2n=2 и n=1n=1 имеемJ2=−x3s36+α22J1,J1=−xs34+α24J0J_2=-\dfrac{x^3s^3}{6}+\dfrac{\alpha^2}{2}J_1,
\qquad
J_1=-\dfrac{xs^3}{4}+\dfrac{\alpha^2}{4}J_0Для базового интеграла положим x=αsin⁡tx=\alpha\sin t при −π2<t<π2-\dfrac\pi2<t<\dfrac\pi2. Тогда s=αcos⁡ts=\alpha\cos t, dx=αcos⁡t dtdx=\alpha\cos t\,dt иJ0=α2∫cos⁡2t dtJ_0=\alpha^2\int\cos^2t\,dtИспользуем cos⁡2t=1+cos⁡2t2\cos^2t=\dfrac{1+\cos2t}{2} и возвращаемся к xx:J0=∫α2−x2 dx=x2s+α22arcsin⁡xα+CJ_0=\int\sqrt{\alpha^2-x^2}\,dx
=\dfrac{x}{2}s+\dfrac{\alpha^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{\alpha}+CПодставляя J0J_0 в J1J_1, а затем J1J_1 в J2J_2, и используя α2=a2\alpha^2=a^2 и α6=a6\alpha^6=a^6, получаем∫x4a2−x2 dx=xa2−x248(8x4−2a2x2−3a4)+a616arcsin⁡x∣a∣+C\begin{aligned}
\int x^4\sqrt{a^2-x^2}\,dx
&=\dfrac{x\sqrt{a^2-x^2}}{48}
\left(8x^4-2a^2x^2-3a^4\right)+\dfrac{a^6}{16}\arcsin\dfrac{x}{|a|}+C
\end{aligned}
Демидович № 1945 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика