Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1928

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью приведения подынтегральных функций к рациональным функциям найти следующие интегралы:

Задача 1928

∫x2+x3x+2+x3 dx\displaystyle\int\frac{x\sqrt[3]{2+x}}{x+\sqrt[3]{2+x}}\,dx.
Ответ:34t4−32t2−34ln⁡∣t−1∣+158ln⁡(t2+t+2)−2747arctg⁡2t+17+C,t=x+23,x≠−1\begin{aligned}
&\dfrac34t^4-\dfrac32t^2-\dfrac34\ln|t-1|+\dfrac{15}{8}\ln(t^2+t+2)\\
&\quad-\dfrac{27}{4\sqrt7}\arctg\dfrac{2t+1}{\sqrt7}+C,
\qquad t=\sqrt[3]{x+2},\quad x\ne-1
\end{aligned}

Решение

Положим t=x+23t=\sqrt[3]{x+2}. Тогда x=t3−2x=t^3-2, dx=3t2 dtdx=3t^2\,dt, иI=∫3t3(t3−2)t3+t−2 dtI=\int\dfrac{3t^3(t^3-2)}{t^3+t-2}\,dtРазложим знаменатель: t3+t−2=(t−1)(t2+t+2)t^3+t-2=(t-1)(t^2+t+2). Деление многочленов и разложение правильной дроби дают3t3(t3−2)t3+t−2=3t3−3t−34(t−1)+3(5t−2)4(t2+t+2)\dfrac{3t^3(t^3-2)}{t^3+t-2}
=3t^3-3t-\dfrac3{4(t-1)}+\dfrac{3(5t-2)}{4(t^2+t+2)}В последней дроби выделим производную знаменателя:3(5t−2)4(t2+t+2)=1582t+1t2+t+2−2781t2+t+2\dfrac{3(5t-2)}{4(t^2+t+2)}
=\dfrac{15}{8}\dfrac{2t+1}{t^2+t+2}-\dfrac{27}{8}\dfrac1{t^2+t+2}Поскольку t2+t+2=(t+12)2+74t^2+t+2=(t+\frac12)^2+\frac74, интегрирование даётI=34t4−32t2−34ln⁡∣t−1∣+158ln⁡(t2+t+2)−2747arctg⁡2t+17+C\begin{aligned}
I={}&\dfrac34t^4-\dfrac32t^2-\dfrac34\ln|t-1|+\dfrac{15}{8}\ln(t^2+t+2)\\
&-\dfrac{27}{4\sqrt7}\arctg\dfrac{2t+1}{\sqrt7}+C
\end{aligned}Здесь t=x+23t=\sqrt[3]{x+2}; исходный знаменатель обращается в нуль только при x=−1x=-1. Формула корректна и при x=−2x=-2: для найденной первообразной FF имеем F(t)−F(0)=34t4+o(t4)F(t)-F(0)=\frac34t^4+o(t^4), а x+2=t3x+2=t^3. Поэтому производная по xx в этой точке равна нулю, как и исходная подынтегральная функция.
Демидович № 1928 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика