Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1954

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти ∫P(x)Q(x)y dx\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)y}\,dx, где y=ax2+bx+cy=\sqrt{ax^2+bx+c}, разлагая рациональную функцию P(x)Q(x)\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} на простейшие дроби.

Задача 1954

∫x2+x+1(x+1)2 dx\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{(x+1)^2}\,dx.
Ответ:При y=x2+x+1y=\sqrt{x^2+x+1}−yx+1+ln⁡(2y+2x+1)−12ln⁡∣x+12y+1−x∣+C,x≠−1-\dfrac{y}{x+1}+\ln (2y+2x+1)
-\dfrac12\ln \left|
\dfrac{x+1}{2y+1-x}
\right|+C,
\qquad x\ne-1

Решение

Так какx2+x+1=(x+12)2+34>0x^2+x+1=\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0корень определён при всех действительных xx. Единственное ограничение создаёт знаменатель (x+1)2(x+1)^2, поэтому x≠−1x\ne-1.

Обозначимy=x2+x+1y=\sqrt{x^2+x+1}Поскольку y2=x2+x+1y^2=x^2+x+1, представим подынтегральную функцию в требуемом виде и разложим рациональную часть:y(x+1)2=x2+x+1(x+1)2y==(1−1x+1+1(x+1)2)1y\begin{aligned}
\dfrac{y}{(x+1)^2}
&=\dfrac{x^2+x+1}{(x+1)^2y}=\\
&=\left(1-\dfrac1{x+1}+
\dfrac1{(x+1)^2}\right)\dfrac1y
\end{aligned}Введём обозначенияJ0=∫dxy,J1=∫dx(x+1)y,J2=∫dx(x+1)2yJ_0=\int\dfrac{dx}{y},
\qquad
J_1=\int\dfrac{dx}{(x+1)y},
\qquad
J_2=\int\dfrac{dx}{(x+1)^2y}Сначала вычислим производную yy:y′=2x+12yy'=\dfrac{2x+1}{2y}Для J0J_0 имеем(ln⁡(2y+2x+1))′=2y′+22y+2x+1==2x+1+2yy(2y+2x+1)=1y\begin{aligned}
\left(\ln (2y+2x+1)\right)'
&=\dfrac{2y'+2}{2y+2x+1}=\\
&=\dfrac{2x+1+2y}{y(2y+2x+1)}
=\dfrac1y
\end{aligned}Кроме того,y=(x+12)2+34>∣x+12∣y=\sqrt{\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34}
>\left|x+\dfrac12\right|поэтому 2y+2x+1>02y+2x+1>0. Следовательно,J0=ln⁡(2y+2x+1)J_0=\ln (2y+2x+1)Для J1J_1 непосредственно получаем(ln⁡∣x+12y+1−x∣)′=1x+1−2y′−12y+1−x==1(x+1)y\begin{aligned}
\left(\ln \left|
\dfrac{x+1}{2y+1-x}\right|\right)'
&=\dfrac1{x+1}
-\dfrac{2y'-1}{2y+1-x}=\\
&=\dfrac1{(x+1)y}
\end{aligned}Значит,J1=ln⁡∣x+12y+1−x∣J_1=\ln \left|
\dfrac{x+1}{2y+1-x}
\right|Для J2J_2 сначала дифференцируем рационально-алгебраическую часть:(−yx+1)′=−2x+12y(x+1)+y(x+1)2\left(-\dfrac{y}{x+1}\right)'
=-\dfrac{2x+1}{2y(x+1)}
+\dfrac{y}{(x+1)^2}Прибавляя половину производной выражения для J1J_1, имеем−2x+12y(x+1)+y(x+1)2+12(x+1)y==−xy(x+1)+y(x+1)2==−x(x+1)+y2y(x+1)2=1y(x+1)2\begin{aligned}
&-\dfrac{2x+1}{2y(x+1)}
+\dfrac{y}{(x+1)^2}
+\dfrac1{2(x+1)y}=\\
&=-\dfrac{x}{y(x+1)}
+\dfrac{y}{(x+1)^2}=\\
&=\dfrac{-x(x+1)+y^2}{y(x+1)^2}
=\dfrac1{y(x+1)^2}
\end{aligned}ПоэтомуJ2=−yx+1+12ln⁡∣x+12y+1−x∣J_2=-\dfrac{y}{x+1}
+\dfrac12\ln \left|
\dfrac{x+1}{2y+1-x}
\right|Следовательно,I=J0−J1+J2=−yx+1+ln⁡(2y+2x+1)−12ln⁡∣x+12y+1−x∣+C\begin{aligned}
I=J_0-J_1+J_2
&=-\dfrac{y}{x+1}+\ln (2y+2x+1)-\dfrac12\ln \left|
\dfrac{x+1}{2y+1-x}
\right|+C
\end{aligned}Так как x2+x+1>0x^2+x+1>0 при всех xx, из области определения исключается только точка x=−1x=-1. На двух полученных промежутках постоянная CC может принимать независимые значения.
Демидович № 1954 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика