Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1944

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найдите интеграл.

\displaystyle\int\frac{x^{10}\,dx}{\sqrt{1+x^2}}

Ответ:

\begin{aligned} &\sqrt{1+x^2}\left( \dfrac{x^9}{10} -\dfrac{9x^7}{80} +\dfrac{21x^5}{160} -\dfrac{21x^3}{128} +\dfrac{63x}{256} \right)-\dfrac{63}{256} \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+C, \qquad x\in\mathbb R\end{aligned}

Решение

Поскольку

1+x^2>0

при всех действительных

x

, область определения есть

\mathbb R

. Обозначим

I_n=\int\dfrac{x^n\,dx}{\sqrt{1+x^2}}

Из равенства

\dfrac{d}{dx}\left(x^{n-1}\sqrt{1+x^2}\right) =\dfrac{nx^n+(n-1)x^{n-2}}{\sqrt{1+x^2}}

получаем формулу понижения степени

I_n=\dfrac{x^{n-1}\sqrt{1+x^2}}{n} -\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}

Последовательно применяя её, имеем

\begin{aligned} I_{10}&=\dfrac{x^9\sqrt{1+x^2}}{10}-\dfrac{9}{10}I_8\\ I_8&=\dfrac{x^7\sqrt{1+x^2}}{8}-\dfrac{7}{8}I_6\\ I_6&=\dfrac{x^5\sqrt{1+x^2}}{6}-\dfrac{5}{6}I_4\\ I_4&=\dfrac{x^3\sqrt{1+x^2}}{4}-\dfrac{3}{4}I_2\\ I_2&=\dfrac{x\sqrt{1+x^2}}{2}-\dfrac{1}{2}I_0\end{aligned}

Сворачивая эти равенства, получаем

\begin{aligned} I_{10} &=\sqrt{1+x^2}\left( \dfrac{x^9}{10} -\dfrac{9x^7}{80} +\dfrac{21x^5}{160} -\dfrac{21x^3}{128} +\dfrac{63x}{256} \right) -\dfrac{63}{256}I_0\end{aligned}

Базовый интеграл проверим дифференцированием. При

s=\sqrt{1+x^2}

имеем

s'=\dfrac{x}{s}

x+s>0

, поэтому

\dfrac{d}{dx}\ln(x+s) =\dfrac{1+\dfrac{x}{s}}{x+s} =\dfrac1s

Следовательно,

I_0=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+C

Аргумент логарифма положителен, поскольку

\sqrt{1+x^2}>|x|

. Подставляя формулы последовательно, получаем

\begin{aligned} I_{10} &=\sqrt{1+x^2}\left( \dfrac{x^9}{10} -\dfrac{9x^7}{80} +\dfrac{21x^5}{160} -\dfrac{21x^3}{128} +\dfrac{63x}{256} \right)-\dfrac{63}{256} \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+C\end{aligned}