Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1957

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти

\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)y}\,dx

, где

y=\sqrt{ax^2+bx+c}

, разлагая рациональную функцию

\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}

на простейшие дроби.

\displaystyle\int\frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}

Ответ:

\dfrac1{\sqrt2}\arctg \left( \dfrac{\sqrt2x}{\sqrt{1-x^2}} \right)+C, \qquad x\in(-1,1)

Решение

Поскольку корень находится в знаменателе, требуется

1-x^2>0

Поэтому область определения есть

-1<x<1

.

Дробь

\dfrac1{1+x^2}

раскладывать дальше не нужно: знаменатель не имеет действительных корней. Обозначим

y=\sqrt{1-x^2}

и положим

x=\sin \varphi, \qquad y=\cos \varphi

На области определения можно взять

-\dfrac\pi2<\varphi<\dfrac\pi2

. Тогда

dx=y\,d\varphi

, и

I=\int\dfrac{d\varphi}{1+\sin^2 \varphi}

Положим

t=\tg \varphi

. Тогда

d\varphi=\dfrac{dt}{1+t^2}, \qquad \sin^2 \varphi=\dfrac{t^2}{1+t^2}

Следовательно,

\begin{aligned} I &=\int\dfrac{dt}{1+2t^2}=\dfrac1{\sqrt2}\arctg (\sqrt2t)+C\end{aligned}

Так как

t=\dfrac{x}{y}

, возвращаемся к исходной переменной.