Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1400

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Используя разложения Тейлора, найти предел:

\lim_{x\to+\infty}x^{\frac32}\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2\sqrt x\right).

Ответ:

-\dfrac{1}{4}

Решение

Вынесем

\sqrt{x}

из каждого корня в скобках:

\lim_{x\to+\infty} x^{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{x} \left( \sqrt{1+\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}} - 2 \right) = \lim_{x\to+\infty} x^2 \left( \left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{2}} + \left(1-\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{2}} - 2 \right)

Сделаем замену переменной

t = \frac{1}{x}

. При

x \to +\infty

переменная

t \to +0

. Предел примет вид:

\lim_{t\to0} \frac{(1+t)^{\frac{1}{2}} + (1-t)^{\frac{1}{2}} - 2}{t^2}

Воспользуемся биномиальным разложением

(1+u)^\alpha = 1 + \alpha u + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}u^2 + o(u^2)

для

\alpha = \frac{1}{2}

(1+t)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}t - \frac{1}{8}t^2 + o(t^2)

(1-t)^{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2}t - \frac{1}{8}t^2 + o(t^2)

Сложим эти два разложения:

(1+t)^{\frac{1}{2}} + (1-t)^{\frac{1}{2}} = \left( 1 + \frac{1}{2}t - \frac{1}{8}t^2 \right) + \left( 1 - \frac{1}{2}t - \frac{1}{8}t^2 \right) + o(t^2) = 2 - \frac{1}{4}t^2 + o(t^2)

Подставим полученное выражение в числитель:

\lim_{t\to0} \frac{2 - \frac{1}{4}t^2 + o(t^2) - 2}{t^2} = \lim_{t\to0} \frac{-\frac{1}{4}t^2 + o(t^2)}{t^2} = -\frac{1}{4}