Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1401

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[6]{x^6+x^5}-\sqrt[6]{x^6-x^5}\right).

Ответ:

\dfrac{1}{3}

Решение

Идея

Вынесем

x

(как

\sqrt[6]{x^6}

) за скобки из обоих корней:

\lim_{x\to+\infty} x \left( \sqrt[6]{1+\frac{1}{x}} - \sqrt[6]{1-\frac{1}{x}} \right)

Обозначим

t = \frac{1}{x}

. При

x \to +\infty

новая переменная

t \to +0

. Предел принимает вид:

\lim_{t\to0} \frac{(1+t)^{\frac{1}{6}} - (1-t)^{\frac{1}{6}}}{t}

Используем биномиальное разложение

(1+u)^\alpha = 1 + \alpha u + o(u)

до первого порядка:

(1+t)^{\frac{1}{6}} = 1 + \frac{1}{6}t + o(t)

(1-t)^{\frac{1}{6}} = 1 - \frac{1}{6}t + o(t)

Вычислим разность:

(1+t)^{\frac{1}{6}} - (1-t)^{\frac{1}{6}} = \left( 1 + \frac{1}{6}t \right) - \left( 1 - \frac{1}{6}t \right) + o(t) = \frac{1}{3}t + o(t)

Подставляем в предел:

\lim_{t\to0} \frac{\frac{1}{3}t + o(t)}{t} = \frac{1}{3}