Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1386

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной

x

до члена с

x^5

включительно функции:

f(x) = \operatorname{tg} x

Ответ:

x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15}

Решение

Идея

Функция

\operatorname{tg} x

является нечётной, поэтому её разложение содержит только нечётные степени

x

. Представим тангенс как

\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x \cdot (\cos x)^{-1}

Разложения синуса и косинуса:

\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)

Найдём разложение для

(\cos x)^{-1}

, используя формулу

(1+u)^{-1} = 1 - u + u^2 + o(u^2)

, где

u = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}

(\cos x)^{-1} = \left( 1 - \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}\right) \right)^{-1} = 1 + \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}\right) + \left(\frac{x^2}{2}\right)^2 + o(x^5)

= 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^4}{4} + o(x^5) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + o(x^5)

Теперь умножим разложение синуса на разложение

(\cos x)^{-1}

\operatorname{tg} x = \left( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \right) \left( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} \right) + o(x^5)

Раскроем скобки, сохраняя степени не выше пятой:

x \cdot 1 + x \cdot \frac{x^2}{2} + x \cdot \frac{5x^4}{24} - \frac{x^3}{6} \cdot 1 - \frac{x^3}{6} \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{x^5}{120} \cdot 1 = x + \frac{x^3}{2} + \frac{5x^5}{24} - \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{12} + \frac{x^5}{120}

Сгруппируем слагаемые:

— При

x^3

\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3 - 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

— При

x^5

\frac{5}{24} - \frac{1}{12} + \frac{1}{120} = \frac{25 - 10 + 1}{120} = \frac{16}{120} = \frac{2}{15}

Проверка

Итоговое разложение:

\operatorname{tg} x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)