Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1386

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной

x

до члена с

x^5

включительно функции:

f(x) = \operatorname{tg} x

Ответ:

x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15}

Решение

Функция

\operatorname{tg} x

является нечётной, поэтому её разложение содержит только нечётные степени

x

. Представим тангенс как

\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x \cdot (\cos x)^{-1}

Разложения синуса и косинуса:

\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)

Для обратного косинуса достаточно членов до

x^4

: далее результат умножается на

\sin x=O(x)

. Положим

u=\cos x-1=-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+o(x^4).

Тогда

u^2=x^4/4+o(x^4)

и по формуле

(1+u)^{-1}=1-u+u^2+o(u^2)

\frac1{\cos x}=1+\frac{x^2}2-\frac{x^4}{24}+\frac{x^4}4+o(x^4)=1+\frac{x^2}2+\frac{5x^4}{24}+o(x^4).

Теперь умножим разложение синуса на разложение

(\cos x)^{-1}

\operatorname{tg} x = \left( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \right) \left( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} \right) + o(x^5)

Раскроем скобки, сохраняя степени не выше пятой:

x \cdot 1 + x \cdot \frac{x^2}{2} + x \cdot \frac{5x^4}{24} - \frac{x^3}{6} \cdot 1 - \frac{x^3}{6} \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{x^5}{120} \cdot 1 = x + \frac{x^3}{2} + \frac{5x^5}{24} - \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{12} + \frac{x^5}{120}

Сгруппируем слагаемые:

— При

x^3

\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3 - 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

— При

x^5

\frac{5}{24} - \frac{1}{12} + \frac{1}{120} = \frac{25 - 10 + 1}{120} = \frac{16}{120} = \frac{2}{15}

Проверка

Итоговое разложение:

\operatorname{tg} x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)