Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1377

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1377

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной xx до члена с x4x^4 включительно функции:f(x)=1+x+x21−x+x2.f(x)=\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2}.Чему равно f(4)(0)f^{(4)}(0)?
Ответ:1+2x+2x2−2x41 + 2x + 2x^2 - 2x^4; \quad f(4)(0)=−48f^{(4)}(0) = -48.

Решение

Идея

Выделим целую часть дроби:f(x)=1−x+x2+2x1−x+x2=1+2x⋅11−(x−x2)f(x) = \frac{1-x+x^2 + 2x}{1-x+x^2} = 1 + 2x \cdot \frac{1}{1 - (x - x^2)}Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии 11−t=1+t+t2+t3+t4+o(t4)\frac{1}{1-t} = 1 + t + t^2 + t^3 + t^4 + o(t^4) при t=x−x2→0t = x - x^2 \to 0:11−(x−x2)=1+(x−x2)+(x−x2)2+(x−x2)3+(x−x2)4+o(x4)\frac{1}{1 - (x - x^2)} = 1 + (x - x^2) + (x - x^2)^2 + (x - x^2)^3 + (x - x^2)^4 + o(x^4)Раскроем скобки, сохраняя только слагаемые со степенями не выше четвёртой:
— (x−x2)2=x2−2x3+x4(x - x^2)^2 = x^2 - 2x^3 + x^4

— (x−x2)3=x3−3x4+o(x4)(x - x^2)^3 = x^3 - 3x^4 + o(x^4)

— (x−x2)4=x4+o(x4)(x - x^2)^4 = x^4 + o(x^4)

Проверка

Просуммируем полученные выражения:1+x−x2+x2−2x3+x4+x3−3x4+x4=1+x−x3−x4+o(x4)1 + x - x^2 + x^2 - 2x^3 + x^4 + x^3 - 3x^4 + x^4 = 1 + x - x^3 - x^4 + o(x^4)Подставим это разложение в исходное выражение для f(x)f(x):f(x)=1+2x(1+x−x3−x4+o(x4))=1+2x+2x2−2x4+o(x4)f(x) = 1 + 2x(1 + x - x^3 - x^4 + o(x^4)) = 1 + 2x + 2x^2 - 2x^4 + o(x^4)Из формулы Маклорена известно, что коэффициент при x4x^4 равен f(4)(0)4!\frac{f^{(4)}(0)}{4!}. В нашем разложении этот коэффициент равен −2-2, откуда:f(4)(0)24=−2  ⟹  f(4)(0)=−48\frac{f^{(4)}(0)}{24} = -2 \implies f^{(4)}(0) = -48
Демидович № 1377 — решение и ответ