Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1395

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1395

1. Для каких xx справедлива с точностью до 0,00010{,}0001 приближённая формула cos⁡x≈1−x22\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}?

2. Доказать формулуan+xn=a+xnan−1−r(n≥2, a>0, x>0),0<r<n−12n2 x2a2n−1.\sqrt[n]{a^n+x}=a+\frac{x}{na^{n-1}}-r \quad (n\ge2,\ a>0,\ x>0), \qquad 0<r<\frac{n-1}{2n^2}\,\frac{x^2}{a^{2n-1}}.

Доказательство

Ряд Маклорена для косинуса является знакочередующимся: cos⁡x=1−x22!+x44!−…\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots
По теореме Лейбница погрешность ограничения знакочередующегося ряда не превышает модуля первого отброшенного члена:Δ≤x44!=x424\Delta \le \frac{x^4}{4!} = \frac{x^4}{24}По условию требуется Δ≤0,0001\Delta \le 0{,}0001:x424≤0,0001  ⟹  x4≤0,0024  ⟹  ∣x∣≤0,00244≈0,2213 рад\frac{x^4}{24} \le 0{,}0001 \implies x^4 \le 0{,}0024 \implies |x| \le \sqrt[4]{0{,}0024} \approx 0{,}2213 \text{ рад}В градусной мере это означает ∣x∣≤0,2213⋅180∘π≈12∘40′|x| \le \frac{0{,}2213 \cdot 180^\circ}{\pi} \approx 12^\circ 40'.

Вынесем ana^n из-под корня:an+xn=a(1+xan)1n\sqrt[n]{a^n+x} = a\left(1 + \frac{x}{a^n}\right)^{\frac{1}{n}}Применим формулу Тейлора для функции f(t)=(1+t)1nf(t) = (1+t)^{\frac{1}{n}} при t=xan>0t = \frac{x}{a^n} > 0 с остаточным членом в форме Лагранжа до второго порядка:(1+t)1n=1+1nt+1n(1n−1)2!t2(1+θt)1n−2,0<θ<1(1+t)^{\frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{n}t + \frac{\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}-1\right)}{2!}t^2 (1+\theta t)^{\frac{1}{n}-2}, \quad 0 < \theta < 1Подставим t=xant = \frac{x}{a^n} и умножим на aa:an+xn=a(1+xnan−n−12n2x2a2n1(1+θxan)2−1n)=a+xnan−1−n−12n2x2a2n−11(1+θxan)2n−1n\sqrt[n]{a^n+x} = a \left( 1 + \frac{x}{n a^n} - \frac{n-1}{2n^2} \frac{x^2}{a^{2n}} \frac{1}{(1+\theta \frac{x}{a^n})^{2-\frac{1}{n}}} \right) = a + \frac{x}{n a^{n-1}} - \frac{n-1}{2n^2} \frac{x^2}{a^{2n-1}} \frac{1}{(1+\theta \frac{x}{a^n})^{\frac{2n-1}{n}}}Остаточный член (он же поправка rr) равен:r=n−12n2x2a2n−11(1+θxan)2n−1nr = \frac{n-1}{2n^2} \frac{x^2}{a^{2n-1}} \frac{1}{(1+\theta \frac{x}{a^n})^{\frac{2n-1}{n}}}Так как x>0,a>0,n≥2x > 0, a > 0, n \ge 2 и 0<θ<10 < \theta < 1, выражение в скобках строго больше 11. Поэтому дробь с этим знаменателем строго меньше 11 и больше 00:0<1(1+θxan)2n−1n<10 < \frac{1}{(1+\theta \frac{x}{a^n})^{\frac{2n-1}{n}}} < 1Отсюда сразу получаем требуемую оценку:0<r<n−12n2 x2a2n−10 < r < \frac{n-1}{2n^2}\,\frac{x^2}{a^{2n-1}}

Что и требовалось доказать

Демидович № 1395 — решение