Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1381

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной

x

до члена с

x^5

включительно функции:

f(x) = e^{2x-x^2}.

Ответ:

1 + 2x + x^2 - \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{6}x^4 - \frac{1}{15}x^5

Решение

Используем стандартное разложение экспоненты

e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{6} + \frac{t^4}{24} + \frac{t^5}{120} + o(t^5)

.
Пусть

t = 2x - x^2

. Вычислим степени

t

до

x^5

включительно:

—

t = 2x - x^2

—

t^2 = (2x - x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4

—

t^3 = (2x - x^2)(4x^2 - 4x^3 + x^4) = 8x^3 - 8x^4 + 2x^5 - 4x^4 + 4x^5 + o(x^5) = 8x^3 - 12x^4 + 6x^5 + o(x^5)

—

t^4 = (4x^2 - 4x^3 + x^4)^2 = 16x^4 - 32x^5 + o(x^5)

—

t^5 = (2x)^5 + o(x^5) = 32x^5 + o(x^5)

Подставим эти выражения в разложение экспоненты:

e^{2x-x^2} = 1 + (2x - x^2) + \frac{1}{2}(4x^2 - 4x^3 + x^4) + \frac{1}{6}(8x^3 - 12x^4 + 6x^5) + \frac{1}{24}(16x^4 - 32x^5) + \frac{1}{120}(32x^5) + o(x^5)

Раскроем скобки:

= 1 + 2x - x^2 + 2x^2 - 2x^3 + \frac{1}{2}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - 2x^4 + x^5 + \frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^5 + \frac{4}{15}x^5 + o(x^5)

Приведём подобные слагаемые при одинаковых степенях

x

:

—

x^2

-1 + 2 = 1

—

x^3

-2 + \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}

—

x^4

\frac{1}{2} - 2 + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} - \frac{12}{6} + \frac{4}{6} = -\frac{5}{6}

—

x^5

1 - \frac{4}{3} + \frac{4}{15} = \frac{15}{15} - \frac{20}{15} + \frac{4}{15} = -\frac{1}{15}

Проверка

Получаем итоговое разложение:

f(x) = 1 + 2x + x^2 - \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{6}x^4 - \frac{1}{15}x^5 + o(x^5)