Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1378

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной

x

до члена с

x^2

включительно функции:

f(x) = \frac{(1+x)^{100}}{(1-2x)^{40}(1+2x)^{60}}.

Ответ:

1 + 60x + 1950x^2

Решение

Идея

Перепишем функцию в виде произведения трёх сомножителей:

f(x) = (1+x)^{100} (1-2x)^{-40} (1+2x)^{-60}

Используем биномиальное разложение

(1+t)^\alpha = 1 + \alpha t + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}t^2 + o(t^2)

для каждого множителя до

x^2

—

(1+x)^{100} = 1 + 100x + \frac{100 \cdot 99}{2}x^2 + o(x^2) = 1 + 100x + 4950x^2 + o(x^2)

—

(1-2x)^{-40} = 1 + (-40)(-2x) + \frac{-40 \cdot (-41)}{2}(-2x)^2 + o(x^2) = 1 + 80x + 3280x^2 + o(x^2)

—

(1+2x)^{-60} = 1 + (-60)(2x) + \frac{-60 \cdot (-61)}{2}(2x)^2 + o(x^2) = 1 - 120x + 7320x^2 + o(x^2)

Проверка

Перемножим второй и третий множители, отбрасывая степени выше второй:

(1 + 80x + 3280x^2)(1 - 120x + 7320x^2) = 1 - 120x + 7320x^2 + 80x - 9600x^2 + 3280x^2 + o(x^2)

= 1 - 40x + 1000x^2 + o(x^2)

Теперь умножим результат на первый множитель:

(1 + 100x + 4950x^2)(1 - 40x + 1000x^2) = 1 - 40x + 1000x^2 + 100x - 4000x^2 + 4950x^2 + o(x^2)

= 1 + 60x + 1950x^2 + o(x^2)