Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1396

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1396

С помощью формулы Тейлора приближённо вычислить:

\text{а) }\sqrt[3]{30};\quad \text{б) }\sqrt[3]{250};\quad \text{в) }\sqrt[12]{4000};\quad \text{г) }\sqrt e;\quad \text{д) }\sin18^\circ;\quad \text{е) }\ln1{,}2;

\text{ж) }\operatorname{arctg}0{,}8;\quad \text{з) }\arcsin0{,}45;\quad \text{и) }(1{,}1)^{1{,}2},

и оценить погрешность.

Решение

Идея

Воспользуемся стандартными разложениями функций в ряд Маклорена, ограничиваясь первыми двумя-тремя членами. Оценка погрешности

\Delta

для знакочередующихся рядов равна модулю первого отброшенного члена.

1
Пункт а)
$\sqrt[3]{30} = \sqrt[3]{27+3} = 3\left(1+\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{3}} \approx 3\left(1 + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{9} - \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{81}\right) = 3\left(1 + \frac{1}{27} - \frac{1}{729}\right) \approx 3{,}107$ . $\Delta < 3 \cdot \frac{5}{81 \cdot 729} \approx 0{,}0003$ .
2
Пункт б)
$\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{216+34} = 6\left(1+\frac{17}{108}\right)^{\frac{1}{3}} \approx 6\left(1 + \frac{17}{324} - \frac{289}{104976}\right) \approx 6{,}298$ . $\Delta \approx 0{,}002$ .
3
Пункт в)
$\sqrt[12]{4000} = \sqrt[12]{4096-96} = 2\left(1-\frac{3}{128}\right)^{\frac{1}{12}} \approx 2\left(1 - \frac{1}{12}\cdot\frac{3}{128}\right) = 2\left(1 - \frac{1}{512}\right) \approx 1{,}996$ . $\Delta \approx 2 \cdot \frac{11}{288} \left(\frac{3}{128}\right)^2 \approx 0{,}00004$ .
4
Пункт г)
$\sqrt{e} = e^{0{,}5} \approx 1 + 0{,}5 + \frac{0{,}25}{2} + \frac{0{,}125}{6} + \frac{0{,}0625}{24} = 1 + 0{,}5 + 0{,}125 + 0{,}0208 + 0{,}0026 \approx 1{,}648$ . $\Delta < \frac{e}{(5)!}(0{,}5)^5 \approx 0{,}0007$ .
5
Пункт д)
$\sin 18^\circ = \sin\frac{\pi}{10} \approx \frac{\pi}{10} - \frac{1}{6}\left(\frac{\pi}{10}\right)^3 \approx 0{,}31416 - \frac{0{,}03101}{6} \approx 0{,}3090$ . $\Delta < \frac{(\pi/10)^5}{120} \approx 0{,}00002$ .
6
Пункт е)
$\ln 1{,}2 = \ln(1+0{,}2) \approx 0{,}2 - \frac{(0{,}2)^2}{2} + \frac{(0{,}2)^3}{3} - \frac{(0{,}2)^4}{4} = 0{,}2 - 0{,}02 + 0{,}00267 - 0{,}0004 = 0{,}1823$ . $\Delta < \frac{(0{,}2)^5}{5} \approx 0{,}00006$ .
7
Пункт ж)
$\operatorname{arctg} 0{,}8 \approx 0{,}8 - \frac{0{,}8^3}{3} + \frac{0{,}8^5}{5} - \frac{0{,}8^7}{7} \approx 0{,}8 - 0{,}1707 + 0{,}0655 - 0{,}0300 \approx 0{,}665$ . $\Delta < \frac{0{,}8^9}{9} \approx 0{,}015$ .
8
Пункт з)
$\arcsin 0{,}45 \approx 0{,}45 + \frac{1}{6}(0{,}45)^3 + \frac{3}{40}(0{,}45)^5 \approx 0{,}45 + 0{,}01519 + 0{,}00138 \approx 0{,}466$ . $\Delta \approx 0{,}0001$
9
Пункт и)
$(1{,}1)^{1{,}2} = (1+0{,}1)^{1{,}2} \approx 1 + 1{,}2(0{,}1) + \frac{1{,}2 \cdot 0{,}2}{2}(0{,}1)^2 + \frac{1{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot (-0{,}8)}{6}(0{,}1)^3 \approx 1 + 0{,}12 + 0{,}0012 - 0{,}00003 \approx 1{,}1212$ . $\Delta \approx 0{,}000002$ .