Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1408

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Для бесконечно малой при x→0x\to0 величины yy определить главный член вида CxnCx^n, если:

Задача 1408

y=(1+x)x−1.y=(1+x)^x-1.
Ответ:x2x^2.

Решение

При x→0x\to0 имеем 1+x>01+x>0, поэтомуy=exp⁡(xln⁡(1+x))−1.y=\exp(x\ln(1+x))-1.По формуле Маклорена ln⁡(1+x)=x+o(x)\ln(1+x)=x+o(x), откудаt=xln⁡(1+x)=x2+o(x2).t=x\ln(1+x)=x^2+o(x^2).В частности, t/x2→1t/x^2\to1. Подставляем в конечную формулу et−1=t+o(t)e^t-1=t+o(t):y=x2+o(x2).y=x^2+o(x^2).Остаток o(t)o(t) после подстановки является o(x2)o(x^2), поскольку t/x2→1t/x^2\to1. Следовательно, y/x2→1y/x^2\to1: главный член равен x2x^2.
Демидович № 1408 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика