Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1408

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Для бесконечно малой при

x\to0

величины

y

определить главный член вида

Cx^n

, если:

y=(1+x)^x-1.

Ответ:

x^2

Решение

Проверка

Перепишем функцию через экспоненту:

y = e^{x\ln(1+x)} - 1

Разложим показатель степени по формуле Маклорена:

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)

x\ln(1+x) = x^2 - \frac{x^3}{2} + o(x^3) = x^2 + o(x^2)

Воспользуемся разложением

e^t - 1 = t + \frac{t^2}{2} + \dots

при

t = x^2 + o(x^2)

y = \left(x^2 + o(x^2)\right) + \frac{1}{2}\left(x^2 + o(x^2)\right)^2 + \dots = x^2 + o(x^2)

Следовательно, главный член равен

x^2