Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1389

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Функцию

f(x)=x^x-1

разложить по целым неотрицательным степеням бинома

x-1

до члена с

(x-1)^3

Ответ:

(x-1) + (x-1)^2 + \frac{1}{2}(x-1)^3

Решение

Сделаем замену переменной

t = x - 1

, тогда

x = 1 + t

. При

x \to 1

переменная

t \to 0

. Перепишем функцию:

f(1+t) = (1+t)^{1+t} - 1 = e^{(1+t)\ln(1+t)} - 1

Воспользуемся разложением логарифма по формуле Маклорена:

\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + o(t^3)

Умножим это разложение на

(1+t)

(1+t)\ln(1+t) = (1+t)\left( t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + o(t^3) \right) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + t^2 - \frac{t^3}{2} + o(t^3)

Приведём подобные слагаемые:

(1+t)\ln(1+t) = t + \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{6} + o(t^3)

Обозначим показатель экспоненты за

u = t + \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{6} + o(t^3)

. Воспользуемся разложением экспоненты

e^u - 1 = u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} + o(u^3)

.
Вычислим нужные степени

u

—

u = t + \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{6} + o(t^3)

—

u^2 = \left(t + \frac{t^2}{2}\right)^2 + o(t^3) = t^2 + t^3 + o(t^3)

—

u^3 = t^3 + o(t^3)

Подставим эти степени в разложение экспоненты:

e^u - 1 = \left( t + \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{6} \right) + \frac{1}{2}\left( t^2 + t^3 \right) + \frac{1}{6}\left( t^3 \right) + o(t^3)

Сгруппируем коэффициенты:

— При

t

1

— При

t^2

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

— При

t^3

-\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}

Проверка

Получаем разложение относительно

t

f(1+t) = t + t^2 + \frac{1}{2}t^3 + o(t^3)

Возвращаясь к исходной переменной

x-1

, получаем искомое разложение:

f(x) = (x-1) + (x-1)^2 + \frac{1}{2}(x-1)^3 + o((x-1)^3)