Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1389

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1389

Функциюf(x)=xx−1f(x)=x^x-1разложить по целым неотрицательным степеням бинома x−1x-1 до члена с (x−1)3(x-1)^3.
Ответ:(x−1)+(x−1)2+12(x−1)3(x-1) + (x-1)^2 + \frac{1}{2}(x-1)^3.

Решение

Идея

Сделаем замену переменной t=x−1t = x - 1, тогда x=1+tx = 1 + t. При x→1x \to 1 переменная t→0t \to 0. Перепишем функцию:f(1+t)=(1+t)1+t−1=e(1+t)ln⁡(1+t)−1f(1+t) = (1+t)^{1+t} - 1 = e^{(1+t)\ln(1+t)} - 1Воспользуемся разложением логарифма по формуле Маклорена:ln⁡(1+t)=t−t22+t33+o(t3)\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + o(t^3)Умножим это разложение на (1+t)(1+t):(1+t)ln⁡(1+t)=(1+t)(t−t22+t33+o(t3))=t−t22+t33+t2−t32+o(t3)(1+t)\ln(1+t) = (1+t)\left( t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + o(t^3) \right) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + t^2 - \frac{t^3}{2} + o(t^3)Приведём подобные слагаемые:(1+t)ln⁡(1+t)=t+t22−t36+o(t3)(1+t)\ln(1+t) = t + \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{6} + o(t^3)Обозначим показатель экспоненты за u=t+t22−t36+o(t3)u = t + \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{6} + o(t^3). Воспользуемся разложением экспоненты eu−1=u+u22+u36+o(u3)e^u - 1 = u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} + o(u^3).
Вычислим нужные степени uu:
— u=t+t22−t36+o(t3)u = t + \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{6} + o(t^3)

— u2=(t+t22)2+o(t3)=t2+t3+o(t3)u^2 = \left(t + \frac{t^2}{2}\right)^2 + o(t^3) = t^2 + t^3 + o(t^3)

— u3=t3+o(t3)u^3 = t^3 + o(t^3)

Подставим эти степени в разложение экспоненты:eu−1=(t+t22−t36)+12(t2+t3)+16(t3)+o(t3)e^u - 1 = \left( t + \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{6} \right) + \frac{1}{2}\left( t^2 + t^3 \right) + \frac{1}{6}\left( t^3 \right) + o(t^3)Сгруппируем коэффициенты:

— При tt: 11

— При t2t^2: 12+12=1\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

— При t3t^3: −16+12+16=12-\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}

Проверка

Получаем разложение относительно tt:f(1+t)=t+t2+12t3+o(t3)f(1+t) = t + t^2 + \frac{1}{2}t^3 + o(t^3)Возвращаясь к исходной переменной x−1x-1, получаем искомое разложение:f(x)=(x−1)+(x−1)2+12(x−1)3+o((x−1)3)f(x) = (x-1) + (x-1)^2 + \frac{1}{2}(x-1)^3 + o((x-1)^3)
Демидович № 1389 — решение и ответ