Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1388

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти три члена разложения функции

f(x)=\sqrt{x}

по целым неотрицательным степеням разности

x-1

Ответ:

1 + \frac{1}{2}(x-1) - \frac{1}{8}(x-1)^2

Решение

Идея

Найти три члена разложения — значит выписать слагаемые с

(x-1)^0

(x-1)^1

(x-1)^2

. Для этого воспользуемся формулой Тейлора функции в окрестности точки

x_0 = 1

f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + o((x-1)^2)

Вычислим значения функции и её производных в точке

x_0 = 1

—

f(x) = x^{\frac{1}{2}} \implies f(1) = 1

—

f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \implies f'(1) = \frac{1}{2}

—

f''(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} \implies f''(1) = -\frac{1}{4}

Проверка

Подставим найденные значения в формулу Тейлора:

f(x) = 1 + \frac{1}{2}(x-1) + \frac{-\frac{1}{4}}{2}(x-1)^2 + o((x-1)^2)

f(x) = 1 + \frac{1}{2}(x-1) - \frac{1}{8}(x-1)^2 + o((x-1)^2)

Три первых члена разложения:

1 + \frac{1}{2}(x-1) - \frac{1}{8}(x-1)^2