Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1407

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Для бесконечно малой при x→0x\to0 величины yy определить главный член вида CxnCx^n, если:

Задача 1407

y=tg⁡(sin⁡x)−sin⁡(tg⁡x).y=\operatorname{tg}(\sin x)-\sin(\operatorname{tg} x).
Ответ:Cxn=130x7Cx^n = \dfrac{1}{30}x^7.

Решение

Идея

Разложим функции tg⁡x\operatorname{tg} x и sin⁡x\sin x в ряд Маклорена до 7-го порядка включительно:sin⁡x=x−x36+x5120−x75040+o(x7)\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + o(x^7)tg⁡x=x+x33+2x515+17x7315+o(x7)\operatorname{tg} x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + o(x^7)
  1. 1
    Рассмотрим первую функцию y1=tg⁡(sin⁡x)y_1 = \operatorname{tg}(\sin x). Подставим разложение синуса в разложение тангенса:
    \begin{align*}
    \operatorname{tg}(\sin x) &= \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040}\right) + \frac{1}{3}\left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\right)^3 +
    &\quad + \frac{2}{15}\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^5 + \frac{17}{315}x^7 + o(x^7)
    \end{align*}
    Вычислим возведения в степень:(x−x36+x5120)3=x3−x52+13x7120+o(x7)\left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\right)^3 = x^3 - \frac{x^5}{2} + \frac{13x^7}{120} + o(x^7)(x−x36)5=x5−5x76+o(x7)\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^5 = x^5 - \frac{5x^7}{6} + o(x^7)Подставим это обратно:tg⁡(sin⁡x)=x+x3(−16+13)+x5(1120−16+215)+x7(−15040+13360−19+17315)+o(x7)\operatorname{tg}(\sin x) = x + x^3\left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{3}\right) + x^5\left(\frac{1}{120} - \frac{1}{6} + \frac{2}{15}\right) + x^7\left(-\frac{1}{5040} + \frac{13}{360} - \frac{1}{9} + \frac{17}{315}\right) + o(x^7)Упростим коэффициенты:

    — При x3x^3: −16+13=16-\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

    — При x5x^5: 1120−20120+16120=−3120=−140\frac{1}{120} - \frac{20}{120} + \frac{16}{120} = -\frac{3}{120} = -\frac{1}{40}

    — При x7x^7: −1+182−560+2725040=−1075040\frac{-1 + 182 - 560 + 272}{5040} = -\frac{107}{5040}

    Итого: tg⁡(sin⁡x)=x+x36−x540−107x75040+o(x7)\operatorname{tg}(\sin x) = x + \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{40} - \frac{107x^7}{5040} + o(x^7).
  2. 2
    Рассмотрим вторую функцию y2=sin⁡(tg⁡x)y_2 = \sin(\operatorname{tg} x). Подставим разложение тангенса в синус:
    \begin{align*}
    \sin(\operatorname{tg} x) &= \left(x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315}\right) - \frac{1}{6}\left(x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15}\right)^3 +
    &\quad + \frac{1}{120}\left(x + \frac{x^3}{3}\right)^5 - \frac{x^7}{5040} + o(x^7)
    \end{align*}
    Вычислим возведения в степень:(x+x33+2x515)3=x3+x5+11x715+o(x7)\left(x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15}\right)^3 = x^3 + x^5 + \frac{11x^7}{15} + o(x^7)(x+x33)5=x5+5x73+o(x7)\left(x + \frac{x^3}{3}\right)^5 = x^5 + \frac{5x^7}{3} + o(x^7)Подставим это обратно:sin⁡(tg⁡x)=x+x3(13−16)+x5(215−16+1120)+x7(17315−1190+172−15040)+o(x7)\sin(\operatorname{tg} x) = x + x^3\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{6}\right) + x^5\left(\frac{2}{15} - \frac{1}{6} + \frac{1}{120}\right) + x^7\left(\frac{17}{315} - \frac{11}{90} + \frac{1}{72} - \frac{1}{5040}\right) + o(x^7)Упростим коэффициенты:

    — При x3x^3: 13−16=16\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}

    — При x5x^5: 16−20+1120=−3120=−140\frac{16 - 20 + 1}{120} = -\frac{3}{120} = -\frac{1}{40}

    — При x7x^7: 272−616+70−15040=−2755040\frac{272 - 616 + 70 - 1}{5040} = -\frac{275}{5040}

    Итого: sin⁡(tg⁡x)=x+x36−x540−275x75040+o(x7)\sin(\operatorname{tg} x) = x + \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{40} - \frac{275x^7}{5040} + o(x^7).

Проверка

Найдём разность y=y1−y2y = y_1 - y_2:y=(−1075040−(−2755040))x7+o(x7)=1685040x7+o(x7)=130x7+o(x7)y = \left(-\frac{107}{5040} - \left(-\frac{275}{5040}\right)\right)x^7 + o(x^7) = \frac{168}{5040}x^7 + o(x^7) = \frac{1}{30}x^7 + o(x^7)