Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1412

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1412

Считая xx малым по модулю, вывести приближённую формулу видаx=αsin⁡x+βtg⁡xx=\alpha\sin x+\beta\operatorname{tg} xс точностью до члена с x5x^5. Применить эту формулу для приближённого спрямления дуг малой угловой величины.
Ответ:x≈23sin⁡x+13tg⁡xx \approx \frac{2}{3}\sin x + \frac{1}{3}\operatorname{tg} x.

Решение

Разложим функции sin⁡x\sin x и tg⁡x\operatorname{tg} x в ряд Маклорена до O(x5)O(x^5):
sin⁡x=x−x36+x5120+O(x7)\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)tg⁡x=x+x33+2x515+O(x7)\operatorname{tg} x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)Подставим эти разложения в искомую формулу x=αsin⁡x+βtg⁡xx = \alpha\sin x + \beta\operatorname{tg} x:x=α(x−x36+O(x5))+β(x+x33+O(x5))x = \alpha\left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) + \beta\left(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)\right)x=(α+β)x+(−α6+β3)x3+O(x5)x = (\alpha + \beta)x + \left(-\frac{\alpha}{6} + \frac{\beta}{3}\right)x^3 + O(x^5)Для того чтобы равенство выполнялось с точностью до x5x^5, коэффициенты при xx и x3x^3 в правой части должны совпадать с коэффициентами в левой:{α+β=1−α6+β3=0\begin{cases}
\alpha + \beta = 1 \\[2mm]
-\dfrac{\alpha}{6} + \dfrac{\beta}{3} = 0
\end{cases}Из второго уравнения следует, что α=2β\alpha = 2\beta. Подставим это в первое уравнение:2β+β=1  ⟹  3β=1  ⟹  β=132\beta + \beta = 1 \implies 3\beta = 1 \implies \beta = \frac{1}{3}Тогда α=23\alpha = \frac{2}{3}.
При этих коэффициентах слагаемое с x5x^5 равно (2/3120+2/153)x5=120x5≠0\left(\frac{2/3}{120} + \frac{2/15}{3}\right)x^5 = \frac{1}{20}x^5 \ne 0. Таким образом, погрешность имеет пятый порядок: 23sin⁡x+13tan⁡x−x=x5/20+O(x7)\frac23\sin x+\frac13\tan x-x=x^5/20+O(x^7). Член пятой степени не воспроизводится точно.
Искомая приближённая формула:x≈23sin⁡x+13tg⁡xx \approx \frac{2}{3}\sin x + \frac{1}{3}\operatorname{tg} xПрименение для спрямления дуг:
Длина дуги окружности радиуса RR с малым центральным углом φ=2x\varphi = 2x равна L=R(2x)L = R(2x).
Хорда, стягивающая эту дугу, имеет длину a=2Rsin⁡xa = 2R\sin x.
Отрезок касательной, проведённой в середине дуги, заключённый между радиусами-продолжениями, стягивающими концы дуги, имеет длину b=2Rtg⁡xb = 2R\operatorname{tg} x.
Умножая полученную формулу на 2R2R, имеем:2Rx≈23(2Rsin⁡x)+13(2Rtg⁡x)  ⟹  L≈2a+b32Rx \approx \frac{2}{3}(2R\sin x) + \frac{1}{3}(2R\operatorname{tg} x) \implies L \approx \frac{2a + b}{3}Эта формула позволяет приближённо находить длину дуги, зная лишь длину хорды и длину соответствующего отрезка касательной.
Демидович № 1412 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика