Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1412

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1412

Считая

x

малым по модулю, вывести приближённую формулу вида

x=\alpha\sin x+\beta\operatorname{tg} x

с точностью до члена с

x^5

. Применить эту формулу для приближённого спрямления дуг малой угловой величины.

Ответ:

x \approx \frac{2}{3}\sin x + \frac{1}{3}\operatorname{tg} x

Решение

Идея

Разложим функции

\sin x

\operatorname{tg} x

в ряд Маклорена до

O(x^5)

\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)

\operatorname{tg} x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)

Подставим эти разложения в искомую формулу

x = \alpha\sin x + \beta\operatorname{tg} x

x = \alpha\left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) + \beta\left(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)\right)

x = (\alpha + \beta)x + \left(-\frac{\alpha}{6} + \frac{\beta}{3}\right)x^3 + O(x^5)

Для того чтобы равенство выполнялось с точностью до

x^5

, коэффициенты при

x

x^3

в правой части должны совпадать с коэффициентами в левой:

\begin{cases}\alpha + \beta = 1 \\[2mm]-\dfrac{\alpha}{6} + \dfrac{\beta}{3} = 0\end{cases}

Из второго уравнения следует, что

\alpha = 2\beta

. Подставим это в первое уравнение:

2\beta + \beta = 1 \implies 3\beta = 1 \implies \beta = \frac{1}{3}

Тогда

\alpha = \frac{2}{3}

.
При этих коэффициентах слагаемое с

x^5

равно

\left(\frac{2/3}{120} + \frac{2/15}{3}\right)x^5 = \frac{1}{20}x^5 \ne 0

. Значит, формула точна именно до члена с

x^5

.
Искомая приближённая формула:

x \approx \frac{2}{3}\sin x + \frac{1}{3}\operatorname{tg} x

Применение для спрямления дуг:
Длина дуги окружности радиуса

R

с малым центральным углом

\varphi = 2x

равна

L = R(2x)

.
Хорда, стягивающая эту дугу, имеет длину

a = 2R\sin x

.
Отрезок касательной, проведённой в середине дуги, заключённый между радиусами-продолжениями, стягивающими концы дуги, имеет длину

b = 2R\operatorname{tg} x

.
Умножая полученную формулу на

2R

, имеем:

2Rx \approx \frac{2}{3}(2R\sin x) + \frac{1}{3}(2R\operatorname{tg} x) \implies L \approx \frac{2a + b}{3}

Эта формула (формула Снеллиуса-Гюйгенса) позволяет приближённо находить длину дуги, зная лишь длину хорды и длину соответствующего отрезка касательной.