Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1384

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной

x

до члена с

x^6

включительно функции:

f(x) = \ln\cos x

Ответ:

-\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{45}

Решение

Разложим

\cos x

по формуле Маклорена:

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + o(x^6)

Подставим это выражение в логарифм:

\ln\cos x = \ln\left( 1 -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720}+o(x^6) \right)

Воспользуемся разложением

\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} + o(u^3)

, где

u=\cos x-1=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+o(x^6)

—

u = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + o(x^6)

—

u^2 = \left( -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \right)^2+o(x^6) = \frac{x^4}{4} - 2\left(\frac{x^2}{2}\right)\left(\frac{x^4}{24}\right) + o(x^6) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{24} + o(x^6)

—

u^3 = \left( -\frac{x^2}{2} \right)^3 + o(x^6) = -\frac{x^6}{8} + o(x^6)

Подставим полученные степени

u

в разложение логарифма:

f(x) = \left( -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} \right) - \frac{1}{2}\left( \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{24} \right) + \frac{1}{3}\left( -\frac{x^6}{8} \right) + o(x^6)

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях

x

:

— При

x^2

-\frac{1}{2}

— При

x^4

\frac{1}{24} - \frac{1}{8} = \frac{1 - 3}{24} = -\frac{2}{24} = -\frac{1}{12}

— При

x^6

-\frac{1}{720} + \frac{1}{48} - \frac{1}{24} = \frac{-1 + 15 - 30}{720} = -\frac{16}{720} = -\frac{1}{45}

Проверка

Окончательное разложение имеет вид:

f(x) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{45} + o(x^6)

Разложение рассматривается при

|x|<\pi/2

, где

\cos x>0