Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1387

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1387

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной xx до члена с x6x^6 включительно функции:f(x)=ln⁡sin⁡xxf(x) = \ln\frac{\sin x}{x}
Ответ:−x26−x4180−x62835-\frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{180} - \frac{x^6}{2835}

Решение

Разложим синус:sin⁡x=x−x36+x5120−x75040+o(x7)\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + o(x^7)Разделим на xx:sin⁡xx=1−x26+x4120−x65040+o(x6)\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \frac{x^6}{5040} + o(x^6)Подставим это выражение в логарифм:ln⁡sin⁡xx=ln⁡(1−x26+x4120−x65040+o(x6))\ln\frac{\sin x}{x} = \ln\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\frac{x^6}{5040}+o(x^6)\right)Воспользуемся формулой ln⁡(1+u)=u−u22+u33+o(u3)\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} + o(u^3), где u=sin⁡x/x−1=−x26+x4120−x65040+o(x6)u=\sin x/x-1=-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\frac{x^6}{5040}+o(x^6):
— u=−x26+x4120−x65040+o(x6)u = -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \frac{x^6}{5040} + o(x^6)

— u2=(−x26+x4120)2+o(x6)=x436−2(x26)(x4120)+o(x6)=x436−x6360+o(x6)u^2 = \left(-\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120}\right)^2+o(x^6) = \frac{x^4}{36} - 2\left(\frac{x^2}{6}\right)\left(\frac{x^4}{120}\right) + o(x^6) = \frac{x^4}{36} - \frac{x^6}{360} + o(x^6)

— u3=(−x26)3+o(x6)=−x6216+o(x6)u^3 = \left(-\frac{x^2}{6}\right)^3 + o(x^6) = -\frac{x^6}{216} + o(x^6)

Подставляем в разложение логарифма:f(x)=(−x26+x4120−x65040)−12(x436−x6360)+13(−x6216)+o(x6)f(x) = \left( -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \frac{x^6}{5040} \right) - \frac{1}{2}\left( \frac{x^4}{36} - \frac{x^6}{360} \right) + \frac{1}{3}\left( -\frac{x^6}{216} \right) + o(x^6)Сгруппируем слагаемые:

— При x2x^2: −16-\frac{1}{6}

— При x4x^4: 1120−172=3−5360=−2360=−1180\frac{1}{120} - \frac{1}{72} = \frac{3 - 5}{360} = -\frac{2}{360} = -\frac{1}{180}

— При x6x^6: −15040+1720−1648=−1+75040−1648=65040−1648=1840−1648-\frac{1}{5040} + \frac{1}{720} - \frac{1}{648} = \frac{-1 + 7}{5040} - \frac{1}{648} = \frac{6}{5040} - \frac{1}{648} = \frac{1}{840} - \frac{1}{648}

Проверка

Приведём к общему знаменателю дробь для x6x^6.
840=24⋅35840 = 24 \cdot 35 и 648=24⋅27648 = 24 \cdot 27.
НОК: 24⋅35⋅27=2268024 \cdot 35 \cdot 27 = 22680.1840−1648=2722680−3522680=−822680=−12835\frac{1}{840} - \frac{1}{648} = \frac{27}{22680} - \frac{35}{22680} = -\frac{8}{22680} = -\frac{1}{2835}Окончательное разложение:f(x)=−x26−x4180−x62835+o(x6)f(x) = -\frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{180} - \frac{x^6}{2835} + o(x^6) При достаточно малом x≠0x\ne0 отношение sin⁡x/x\sin x/x положительно, поскольку стремится к 11. Поэтому логарифм определён с обеих сторон нуля.
Демидович № 1387 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика