Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1398

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}.

Ответ:

-\dfrac{1}{12}

Решение

Идея

Воспользуемся стандартными разложениями по формуле Маклорена для функций

\cos x

e^t

до

x^4

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)

Для экспоненты подставим

t = -\frac{x^2}{2}

e^{-\frac{x^2}{2}} = 1 + \left(-\frac{x^2}{2}\right) + \frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2}\right)^2 + o(x^4) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4)

Вычислим разность в числителе:

\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}} = \left( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \right) - \left( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} \right) + o(x^4)

Сгруппируем подобные слагаемые:

\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}} = \left( \frac{1}{24} - \frac{1}{8} \right)x^4 + o(x^4) = \frac{1 - 3}{24}x^4 + o(x^4) = -\frac{1}{12}x^4 + o(x^4)

Подставим это разложение в исходный предел:

\lim_{x\to0} \frac{-\frac{1}{12}x^4 + o(x^4)}{x^4} = -\frac{1}{12}