Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1382

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1382

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной xx до члена с x4x^4 включительно функции:f(x)=xex−1.f(x) = \frac{x}{e^x-1}.
Ответ:1−12x+112x2−1720x41 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{12}x^2 - \frac{1}{720}x^4.

Решение

Идея

Разложим знаменатель ex−1e^x - 1 по формуле Маклорена:ex−1=x+x22+x36+x424+x5120+o(x5)e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)Разделим числитель и знаменатель на xx:f(x)=11+x2+x26+x324+x4120+o(x4)=11+tf(x) = \frac{1}{1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \frac{x^4}{120} + o(x^4)} = \frac{1}{1+t}где t=x2+x26+x324+x4120t = \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{24} + \frac{x^4}{120}.
Воспользуемся формулой (1+t)−1=1−t+t2−t3+t4+o(t4)(1+t)^{-1} = 1 - t + t^2 - t^3 + t^4 + o(t^4).
Найдём степени tt с точностью до x4x^4:

— t=12x+16x2+124x3+1120x4t = \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{24}x^3 + \frac{1}{120}x^4

— t2=(12x+16x2+124x3)2=14x2+2(12x)(16x2)+(16x2)2+2(12x)(124x3)+o(x4)=14x2+16x3+572x4t^2 = \left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{24}x^3\right)^2 = \frac{1}{4}x^2 + 2\left(\frac{1}{2}x\right)\left(\frac{1}{6}x^2\right) + \left(\frac{1}{6}x^2\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}x\right)\left(\frac{1}{24}x^3\right) + o(x^4) = \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{5}{72}x^4

— t3=(12x+16x2)3=18x3+3(14x2)(16x2)+o(x4)=18x3+18x4t^3 = \left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x^2\right)^3 = \frac{1}{8}x^3 + 3\left(\frac{1}{4}x^2\right)\left(\frac{1}{6}x^2\right) + o(x^4) = \frac{1}{8}x^3 + \frac{1}{8}x^4

— t4=(12x)4+o(x4)=116x4t^4 = \left(\frac{1}{2}x\right)^4 + o(x^4) = \frac{1}{16}x^4

Подставим в разложение:f(x)=1−(12x+16x2+124x3+1120x4)+(14x2+16x3+572x4)−(18x3+18x4)+116x4+o(x4)f(x) = 1 - \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{24}x^3 + \frac{1}{120}x^4 \right) + \left( \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{5}{72}x^4 \right) - \left( \frac{1}{8}x^3 + \frac{1}{8}x^4 \right) + \frac{1}{16}x^4 + o(x^4)Соберём коэффициенты при одинаковых степенях xx:

— xx: −12-\frac{1}{2}

— x2x^2: −16+14=112-\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{1}{12}

— x3x^3: −124+16−18=−1+4−324=0-\frac{1}{24} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{-1 + 4 - 3}{24} = 0

— x4x^4: −1120+572−18+116=−6+50−90+45720=−1720-\frac{1}{120} + \frac{5}{72} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{-6 + 50 - 90 + 45}{720} = -\frac{1}{720}

Проверка

(Отметим, что коэффициенты соответствуют числам Бернулли: Bnn!\frac{B_n}{n!}).
Получаем итоговое разложение:f(x)=1−12x+112x2−1720x4+o(x4)f(x) = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{12}x^2 - \frac{1}{720}x^4 + o(x^4)
Демидович № 1382 — решение и ответ