Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1382

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной

x

до члена с

x^4

включительно функции:

f(x) = \frac{x}{e^x-1}.

Ответ:

1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{12}x^2 - \frac{1}{720}x^4

Решение

Для получения членов до

x^4

знаменатель нужно разложить до

x^5

: последующее деление на

x

уменьшит порядок на единицу. По формуле Маклорена

e^x-1=x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}6+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+o(x^5).

При

x\ne0

положим

t=\frac{e^x-1}{x}-1=\frac x2+\frac{x^2}6+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+o(x^4).

Тогда исходная функция точно равна

1/(1+t)

. Поскольку

t/x\to1/2

, остаток

o(t^4)

будет также

o(x^4)

. Используем

\frac1{1+t}=1-t+t^2-t^3+t^4+o(t^4).

Выпишем все произведения, которые влияют на степени до четвёртой:

\begin{aligned}t^2&=\frac{x^2}4+2\frac x2\frac{x^2}6+\left(\frac{x^2}6\right)^2+2\frac x2\frac{x^3}{24}+o(x^4)\\&=\frac{x^2}4+\frac{x^3}6+\left(\frac1{36}+\frac1{24}\right)x^4+o(x^4)=\frac{x^2}4+\frac{x^3}6+\frac{5x^4}{72}+o(x^4),\\t^3&=\frac{x^3}8+3\frac{x^2}4\frac{x^2}6+o(x^4)=\frac{x^3}8+\frac{x^4}8+o(x^4),\\t^4&=\frac{x^4}{16}+o(x^4).\end{aligned}

Теперь собираем коэффициенты в

1-t+t^2-t^3+t^4

\begin{array}{c|l}x&-1/2\\x^2&-1/6+1/4=1/12\\x^3&-1/24+1/6-1/8=(-1+4-3)/24=0\\x^4&-1/120+5/72-1/8+1/16=(-6+50-90+45)/720=-1/720.\end{array}

Следовательно,

\frac{x}{e^x-1}=1-\frac x2+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+o(x^4),\qquad x\to0.

Исходная дробь при

x=0

не определена; её непрерывное продолжение имеет значение

1

. Разложение относится к пределу при

x\to0