Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1391

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1391

Функциюf(x)=1+x2−x(x>0)f(x)=\sqrt{1+x^2}-x\qquad(x>0)разложить по целым неотрицательным степеням дроби 1x\frac1x до члена с 1x3\frac1{x^3}.
Ответ:12x−18x3\frac{1}{2x} - \frac{1}{8x^3}.

Решение

Идея

Вынесем xx из-под корня. Так как по условию x>0x > 0, то x2=x\sqrt{x^2} = x:
f(x)=x1+1x2−x=x((1+1x2)12−1)f(x) = x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} - x = x \left( \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{\frac{1}{2}} - 1 \right)Обозначим t=1x2t = \frac{1}{x^2}. При x→+∞x \to +\infty переменная t→0t \to 0. Воспользуемся биномиальным разложением (1+t)α=1+αt+α(α−1)2t2+o(t2)(1+t)^\alpha = 1 + \alpha t + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}t^2 + o(t^2) для α=12\alpha = \frac{1}{2}:(1+t)12=1+12t−18t2+o(t2)\left(1+t\right)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}t - \frac{1}{8}t^2 + o(t^2)Подставим t=1x2t = \frac{1}{x^2}:(1+1x2)12=1+12x2−18x4+o(1x4)\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{8x^4} + o\left(\frac{1}{x^4}\right)Возвращаемся к функции f(x)f(x):f(x)=x(1+12x2−18x4+o(1x4)−1)=x(12x2−18x4+o(1x4))f(x) = x \left( 1 + \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{8x^4} + o\left(\frac{1}{x^4}\right) - 1 \right) = x \left( \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{8x^4} + o\left(\frac{1}{x^4}\right) \right)Раскроем скобки:f(x)=12x−18x3+o(1x3)f(x) = \frac{1}{2x} - \frac{1}{8x^3} + o\left(\frac{1}{x^3}\right)
Демидович № 1391 — решение и ответ