Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1399

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac{e^x\sin x-x(1+x)}{x^3}.

Ответ:

\dfrac{1}{3}

Решение

Идея

Воспользуемся разложениями Маклорена для экспоненты и синуса до

x^3

Проверка

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)

\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)

Найдём разложение их произведения

e^x\sin x

, перемножив многочлены и отбросив степени выше третьей:

e^x\sin x = \left( 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) \right) \left( x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \right)

= x - \frac{x^3}{6} + x^2 + \frac{x^3}{2} + o(x^3) = x + x^2 + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right)x^3 + o(x^3)

Упростим коэффициент при

x^3

\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3 - 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Таким образом:

e^x\sin x = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)

Подставим это разложение в числитель предела:

e^x\sin x - x(1+x) = \left( x + x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \right) - x - x^2 = \frac{x^3}{3} + o(x^3)

Вычислим предел:

\lim_{x\to0} \frac{\frac{x^3}{3} + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{3}