Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1383

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1383

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной xx до члена с x13x^{13} включительно функции:f(x)=sin⁡x33f(x) = \sqrt[3]{\sin x^3}
Ответ:x−x718−x133240x - \frac{x^7}{18} - \frac{x^{13}}{3240}

Решение

Идея

Воспользуемся известным разложением синуса по формуле Маклорена:
sin⁡t=t−t36+t5120+o(t5)\sin t = t - \frac{t^3}{6} + \frac{t^5}{120} + o(t^5)Подставим t=x3t = x^3:sin⁡x3=x3−x96+x15120+o(x15)\sin x^3 = x^3 - \frac{x^9}{6} + \frac{x^{15}}{120} + o(x^{15})Извлечём кубический корень, вынеся x3x^3 за скобки:sin⁡x33=(x3(1−x66+x12120+o(x12)))13=x(1−x66+x12120+o(x12))13\sqrt[3]{\sin x^3} = \left( x^3 \left( 1 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{12}}{120} + o(x^{12}) \right) \right)^{\frac{1}{3}} = x \left( 1 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{12}}{120} + o(x^{12}) \right)^{\frac{1}{3}}Воспользуемся биномиальным разложением (1+u)α=1+αu+α(α−1)2u2+o(u2)(1+u)^\alpha = 1 + \alpha u + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}u^2 + o(u^2) при α=13\alpha = \frac{1}{3} и u=−x66+x12120u = -\frac{x^6}{6} + \frac{x^{12}}{120}:α=13,α(α−1)2=13(−23)2=−19\alpha = \frac{1}{3}, \qquad \frac{\alpha(\alpha-1)}{2} = \frac{\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)}{2} = -\frac{1}{9}Подставим uu:(1+u)13=1+13(−x66+x12120)−19(−x66+x12120)2+o(x12)(1+u)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}\left( -\frac{x^6}{6} + \frac{x^{12}}{120} \right) - \frac{1}{9}\left( -\frac{x^6}{6} + \frac{x^{12}}{120} \right)^2 + o(x^{12})Раскроем скобки, удерживая слагаемые со степенями не выше x12x^{12}:(1+u)13=1−x618+x12360−19(x1236)+o(x12)=1−x618+(1360−1324)x12+o(x12)(1+u)^{\frac{1}{3}} = 1 - \frac{x^6}{18} + \frac{x^{12}}{360} - \frac{1}{9}\left( \frac{x^{12}}{36} \right) + o(x^{12}) = 1 - \frac{x^6}{18} + \left( \frac{1}{360} - \frac{1}{324} \right)x^{12} + o(x^{12})Приведём дроби к общему знаменателю. НОК для 360360 и 324324 равен 32403240:1360−1324=93240−103240=−13240\frac{1}{360} - \frac{1}{324} = \frac{9}{3240} - \frac{10}{3240} = -\frac{1}{3240}Тогда:(1+u)13=1−x618−x123240+o(x12)(1+u)^{\frac{1}{3}} = 1 - \frac{x^6}{18} - \frac{x^{12}}{3240} + o(x^{12})Умножим полученное выражение на xx, вынесенный ранее:f(x)=x(1−x618−x123240+o(x12))=x−x718−x133240+o(x13)f(x) = x \left( 1 - \frac{x^6}{18} - \frac{x^{12}}{3240} + o(x^{12}) \right) = x - \frac{x^7}{18} - \frac{x^{13}}{3240} + o(x^{13})
Демидович № 1383 — решение и ответ