Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1406

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1406

Найти пределы:а) lim⁡x→01x(1x−ctg⁡x);б) lim⁡x→0sin⁡(sin⁡x)−x1−x23x5;\text{а) }\lim_{x\to0}\frac1x\left(\frac1x-\operatorname{ctg} x\right);
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin x)-x\sqrt[3]{1-x^2}}{x^5};в) lim⁡x→01−(cos⁡x)sin⁡xx3;г) lim⁡x→0sh⁡(tg⁡x)−xx3.\text{в) }\lim_{x\to0}\frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^3};
\qquad
\text{г) }\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sh}(\operatorname{tg} x)-x}{x^3}.
Ответ:а) 13\dfrac{1}{3}; \quad б) 1990\dfrac{19}{90}; \quad в) 12\dfrac{1}{2}; \quad г) 12\dfrac{1}{2}.

Решение

Пункт а)lim⁡x→01x(1x−ctg⁡x)=lim⁡x→0(1x2−cos⁡xxsin⁡x)=lim⁡x→0sin⁡x−xcos⁡xx2sin⁡x\lim_{x\to0}\frac1x\left(\frac1x-\operatorname{ctg} x\right) = \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^2} - \frac{\cos x}{x\sin x}\right) = \lim_{x\to0}\frac{\sin x - x\cos x}{x^2\sin x}Заменим в знаменателе sin⁡x∼x\sin x \sim x, знаменатель станет x3x^3. Разложим функции в числителе до x3x^3:sin⁡x=x−x36+o(x3)\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)xcos⁡x=x(1−x22+o(x2))=x−x32+o(x3)x\cos x = x\left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) = x - \frac{x^3}{2} + o(x^3)Подставляем в предел:lim⁡x→0(x−x36)−(x−x32)+o(x3)x3=lim⁡x→0(−16+12)x3+o(x3)x3=3−16=26=13\lim_{x\to0}\frac{\left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \left(x - \frac{x^3}{2}\right) + o(x^3)}{x^3} = \lim_{x\to0}\frac{\left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right)x^3 + o(x^3)}{x^3} = \frac{3 - 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
Пункт б)
Рассмотрим предел lim⁡x→0sin⁡(sin⁡x)−x1−x23x5\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(\sin x)-x\sqrt[3]{1-x^2}}{x^5}.
Разложим уменьшаемое sin⁡(sin⁡x)\sin(\sin x) до 5-го порядка.sin⁡x=x−x36+x5120+o(x5)\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)Подставим это как аргумент uu во внешний синус sin⁡u=u−u36+u5120+o(u5)\sin u = u - \frac{u^3}{6} + \frac{u^5}{120} + o(u^5):
\begin{align*}
u^3 &= \left(x - \frac{x^3}{6}\right)^3 + o(x^5) = x^3 - 3x^2\left(\frac{x^3}{6}\right) + o(x^5) = x^3 - \frac{x^5}{2} + o(x^5)\\
u^5 &= x^5 + o(x^5)
\end{align*}
Тогда:sin⁡(sin⁡x)=(x−x36+x5120)−16(x3−x52)+1120(x5)+o(x5)\sin(\sin x) = \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\right) - \frac{1}{6}\left(x^3 - \frac{x^5}{2}\right) + \frac{1}{120}(x^5) + o(x^5)Сгруппируем:sin⁡(sin⁡x)=x−x33+x5(1120+112+1120)+o(x5)=x−x33+12120x5+o(x5)=x−x33+x510+o(x5)\sin(\sin x) = x - \frac{x^3}{3} + x^5\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{12} + \frac{1}{120}\right) + o(x^5) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{12}{120}x^5 + o(x^5) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} + o(x^5)Теперь разложим вычитаемое x1−x23x\sqrt[3]{1-x^2}:1−x23=(1−x2)1/3=1−13x2+13(−23)2(−x2)2+o(x4)=1−x23−x49+o(x4)\sqrt[3]{1-x^2} = (1-x^2)^{1/3} = 1 - \frac{1}{3}x^2 + \frac{\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)}{2}(-x^2)^2 + o(x^4) = 1 - \frac{x^2}{3} - \frac{x^4}{9} + o(x^4)Умножим на xx:x1−x23=x−x33−x59+o(x5)x\sqrt[3]{1-x^2} = x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{9} + o(x^5)Вычтем одно из другого:sin⁡(sin⁡x)−x1−x23=(110−(−19))x5+o(x5)=(9+1090)x5+o(x5)=1990x5+o(x5)\sin(\sin x) - x\sqrt[3]{1-x^2} = \left( \frac{1}{10} - \left(-\frac{1}{9}\right) \right)x^5 + o(x^5) = \left(\frac{9+10}{90}\right)x^5 + o(x^5) = \frac{19}{90}x^5 + o(x^5)Значение предела:lim⁡x→01990x5+o(x5)x5=1990\lim_{x\to0}\frac{\frac{19}{90}x^5 + o(x^5)}{x^5} = \frac{19}{90}Пункт в)
Рассмотрим предел lim⁡x→01−(cos⁡x)sin⁡xx3\lim\limits_{x\to0}\frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^3}.
Представим степенно-показательную функцию через экспоненту:(cos⁡x)sin⁡x=esin⁡xln⁡(cos⁡x)(\cos x)^{\sin x} = e^{\sin x \ln(\cos x)}Разложим показатель sin⁡xln⁡(cos⁡x)\sin x \ln(\cos x) до 3-го порядка.cos⁡x=1−x22+o(x3)  ⟹  ln⁡(cos⁡x)=ln⁡(1−x22+o(x3))=−x22+o(x3)\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3) \implies \ln(\cos x) = \ln\left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)\right) = -\frac{x^2}{2} + o(x^3)sin⁡x=x+o(x2)\sin x = x + o(x^2)Тогда:sin⁡xln⁡(cos⁡x)=(x+o(x2))(−x22+o(x3))=−x32+o(x3)\sin x \ln(\cos x) = (x + o(x^2))\left(-\frac{x^2}{2} + o(x^3)\right) = -\frac{x^3}{2} + o(x^3)Теперь разложим экспоненту:e−x32+o(x3)=1−x32+o(x3)e^{-\frac{x^3}{2} + o(x^3)} = 1 - \frac{x^3}{2} + o(x^3)Подставляем в числитель:1−(cos⁡x)sin⁡x=1−(1−x32+o(x3))=x32+o(x3)1 - (\cos x)^{\sin x} = 1 - \left(1 - \frac{x^3}{2} + o(x^3)\right) = \frac{x^3}{2} + o(x^3)Значение предела:lim⁡x→0x32+o(x3)x3=12\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{2} + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{2}

Проверка

Пункт г)
Рассмотрим предел lim⁡x→0sh⁡(tg⁡x)−xx3\lim\limits_{x\to0}\frac{\operatorname{sh}(\operatorname{tg} x)-x}{x^3}.
Разложим внутреннюю функцию tg⁡x\operatorname{tg} x:tg⁡x=x+x33+o(x3)\operatorname{tg} x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)Разложим внешнюю функцию sh⁡u=u+u36+o(u3)\operatorname{sh} u = u + \frac{u^3}{6} + o(u^3), где u=tan⁡x=x+x33+o(x3)u=\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3):u3=x3+o(x3)u^3 = x^3 + o(x^3)Подставляем:sh⁡(tg⁡x)=(x+x33)+16x3+o(x3)=x+(13+16)x3+o(x3)=x+x32+o(x3)\operatorname{sh}(\operatorname{tg} x) = \left(x + \frac{x^3}{3}\right) + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3) = x + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)x^3 + o(x^3) = x + \frac{x^3}{2} + o(x^3)Вычисляем числитель:sh⁡(tg⁡x)−x=(x+x32+o(x3))−x=x32+o(x3)\operatorname{sh}(\operatorname{tg} x) - x = \left( x + \frac{x^3}{2} + o(x^3) \right) - x = \frac{x^3}{2} + o(x^3)Значение предела:lim⁡x→0x32+o(x3)x3=12\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{2} + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{2} В пункте в) рассматриваем ∣x∣<π/2|x|<\pi/2, где cos⁡x>0\cos x>0, поэтому степень и её представление через логарифм определены.
Демидович № 1406 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика