Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1406

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1406

Найти пределы:

\text{а) }\lim_{x\to0}\frac1x\left(\frac1x-\operatorname{ctg} x\right);\qquad\text{б) }\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin x)-x\sqrt[3]{1-x^2}}{x^5};

\text{в) }\lim_{x\to0}\frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^3};\qquad\text{г) }\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sh}(\operatorname{tg} x)-x}{x^3}.

Замечание: в пункте (б) исправлена частая опечатка распознавания (

x^3

на

x\sqrt[3]{1-x^2}

), так как в классическом задачнике Демидовича (№1406.1) предел имеет конечный смысл именно в таком виде.

Ответ:а)

\dfrac{1}{3}

; \quad б)

\dfrac{19}{90}

; \quad в)

\dfrac{1}{2}

; \quad г)

\dfrac{1}{2}

Решение

Идея

Пункт а)

\lim_{x\to0}\frac1x\left(\frac1x-\operatorname{ctg} x\right) = \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^2} - \frac{\cos x}{x\sin x}\right) = \lim_{x\to0}\frac{\sin x - x\cos x}{x^2\sin x}

Заменим в знаменателе

\sin x \sim x

, знаменатель станет

x^3

. Разложим функции в числителе до

x^3

\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)

x\cos x = x\left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) = x - \frac{x^3}{2} + o(x^3)

Подставляем в предел:

\lim_{x\to0}\frac{\left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \left(x - \frac{x^3}{2}\right) + o(x^3)}{x^3} = \lim_{x\to0}\frac{\left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right)x^3 + o(x^3)}{x^3} = \frac{3 - 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Пункт б)
Рассмотрим предел

\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(\sin x)-x\sqrt[3]{1-x^2}}{x^5}

.
Разложим уменьшаемое

\sin(\sin x)

до 5-го порядка.

\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)

Подставим это как аргумент

u

во внешний синус

\sin u = u - \frac{u^3}{6} + \frac{u^5}{120} + o(u^5)

:
\begin{align*}
u^3 &= \left(x - \frac{x^3}{6}\right)^3 + o(x^5) = x^3 - 3x^2\left(\frac{x^3}{6}\right) + o(x^5) = x^3 - \frac{x^5}{2} + o(x^5)
u^5 &= x^5 + o(x^5)
\end{align*}
Тогда:

\sin(\sin x) = \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\right) - \frac{1}{6}\left(x^3 - \frac{x^5}{2}\right) + \frac{1}{120}(x^5) + o(x^5)

Сгруппируем:

\sin(\sin x) = x - \frac{x^3}{3} + x^5\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{12} + \frac{1}{120}\right) + o(x^5) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{12}{120}x^5 + o(x^5) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} + o(x^5)

Теперь разложим вычитаемое

x\sqrt[3]{1-x^2}

\sqrt[3]{1-x^2} = (1-x^2)^{1/3} = 1 - \frac{1}{3}x^2 + \frac{\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)}{2}(-x^2)^2 + o(x^4) = 1 - \frac{x^2}{3} - \frac{x^4}{9} + o(x^4)

Умножим на

x

x\sqrt[3]{1-x^2} = x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{9} + o(x^5)

Вычтем одно из другого:

\sin(\sin x) - x\sqrt[3]{1-x^2} = \left( \frac{1}{10} - \left(-\frac{1}{9}\right) \right)x^5 + o(x^5) = \left(\frac{9+10}{90}\right)x^5 + o(x^5) = \frac{19}{90}x^5 + o(x^5)

Значение предела:

\lim_{x\to0}\frac{\frac{19}{90}x^5 + o(x^5)}{x^5} = \frac{19}{90}

Пункт в)
Рассмотрим предел

\lim\limits_{x\to0}\frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^3}

.
Представим степенно-показательную функцию через экспоненту:

(\cos x)^{\sin x} = e^{\sin x \ln(\cos x)}

Разложим показатель

\sin x \ln(\cos x)

до 3-го порядка.

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3) \implies \ln(\cos x) = \ln\left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)\right) = -\frac{x^2}{2} + o(x^3)

\sin x = x + o(x^2)

Тогда:

\sin x \ln(\cos x) = (x + o(x^2))\left(-\frac{x^2}{2} + o(x^3)\right) = -\frac{x^3}{2} + o(x^3)

Теперь разложим экспоненту:

e^{-\frac{x^3}{2} + o(x^3)} = 1 - \frac{x^3}{2} + o(x^3)

Подставляем в числитель:

1 - (\cos x)^{\sin x} = 1 - \left(1 - \frac{x^3}{2} + o(x^3)\right) = \frac{x^3}{2} + o(x^3)

Значение предела:

\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{2} + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{2}

Проверка

Пункт г)
Рассмотрим предел

\lim\limits_{x\to0}\frac{\operatorname{sh}(\operatorname{tg} x)-x}{x^3}

.
Разложим внутреннюю функцию

\operatorname{tg} x

\operatorname{tg} x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)

Разложим внешнюю функцию

\operatorname{sh} u = u + \frac{u^3}{6} + o(u^3)

, где

u = x + \frac{x^3}{3}

u^3 = x^3 + o(x^3)

Подставляем:

\operatorname{sh}(\operatorname{tg} x) = \left(x + \frac{x^3}{3}\right) + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3) = x + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)x^3 + o(x^3) = x + \frac{x^3}{2} + o(x^3)

Вычисляем числитель:

\operatorname{sh}(\operatorname{tg} x) - x = \left( x + \frac{x^3}{2} + o(x^3) \right) - x = \frac{x^3}{2} + o(x^3)

Значение предела:

\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{2} + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{2}