Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1402

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Используя разложения Тейлора, найти предел:

\lim_{x\to+\infty}\left[\left(x^3-x^2+\frac x2\right)e^{\frac1x}-\sqrt{x^6+1}\right].

Ответ:

\dfrac{1}{6}

Решение

Вынесем

x^3

за скобки в каждом из слагаемых:

\lim_{x\to+\infty} x^3 \left[ \left(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2}\right)e^{\frac{1}{x}} - \sqrt{1+\frac{1}{x^6}} \right]

Сделаем замену переменной

t = \frac{1}{x}

. При

x \to +\infty

переменная

t \to +0

. Предел принимает вид:

\lim_{t\to0} \frac{\left(1 - t + \frac{t^2}{2}\right)e^t - \sqrt{1+t^6}}{t^3}

Для того чтобы вычислить этот предел, нам нужно найти разложение числителя до степени

t^3

.
Разложим экспоненту по формуле Маклорена:

e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{6} + o(t^3)

Перемножим многочлены:

\left(1 - t + \frac{t^2}{2}\right) \left(1 + t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{6} + o(t^3)\right)

Раскроем скобки, группируя члены по степеням

t

—

t^0: 1 \cdot 1 = 1

—

t^1: 1 \cdot t - t \cdot 1 = 0

—

t^2: 1 \cdot \frac{t^2}{2} - t \cdot t + \frac{t^2}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}t^2 - t^2 + \frac{1}{2}t^2 = 0

—

t^3: 1 \cdot \frac{t^3}{6} - t \cdot \frac{t^2}{2} + \frac{t^2}{2} \cdot t = \frac{1}{6}t^3 - \frac{1}{2}t^3 + \frac{1}{2}t^3 = \frac{1}{6}t^3

Проверка

Таким образом:

\left(1 - t + \frac{t^2}{2}\right)e^t = 1 + \frac{1}{6}t^3 + o(t^3)

Теперь рассмотрим второй корень. По биномиальной формуле:

\sqrt{1+t^6} = (1+t^6)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}t^6 + o(t^6) = 1 + o(t^3)

Подставим оба полученных разложения в числитель предела:

\lim_{t\to0} \frac{\left( 1 + \frac{1}{6}t^3 + o(t^3) \right) - \left( 1 + o(t^3) \right)}{t^3} = \lim_{t\to0} \frac{\frac{1}{6}t^3 + o(t^3)}{t^3} = \frac{1}{6}