Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1385

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1385

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной xx до члена с x3x^3 включительно функции:f(x)=sin⁡(sin⁡x)f(x) = \sin(\sin x)
Ответ:x−x33x - \frac{x^3}{3}

Решение

Разложим внутренний синус по формуле Маклорена:sin⁡x=x−x36+o(x3)\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)Подставим это выражение во внешний синус:sin⁡(sin⁡x)=sin⁡(x−x36+o(x3))\sin(\sin x) = \sin\left( x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \right)Воспользуемся разложением для внешнего синуса sin⁡u=u−u36+o(u3)\sin u = u - \frac{u^3}{6} + o(u^3), где u=x−x36u = x - \frac{x^3}{6}:u3=(x−x36)3=x3+o(x3)u^3 = \left( x - \frac{x^3}{6} \right)^3 = x^3 + o(x^3)Подставляем:sin⁡(sin⁡x)=(x−x36)−16(x3)+o(x3)=x−x36−x36+o(x3)=x−x33+o(x3)\sin(\sin x) = \left( x - \frac{x^3}{6} \right) - \frac{1}{6}(x^3) + o(x^3) = x - \frac{x^3}{6} - \frac{x^3}{6} + o(x^3) = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)
Демидович № 1385 — решение и ответ