Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1376

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1376

МногочленP(x)=1+3x+5x2−2x3P(x)=1+3x+5x^2-2x^3расположить по целым неотрицательным степеням двучлена x+1x+1.
Ответ:5−13(x+1)+11(x+1)2−2(x+1)35 - 13(x+1) + 11(x+1)^2 - 2(x+1)^3

Решение

Идея

Воспользуемся локальной формулой Тейлора для многочлена третьей степени. Разложение в окрестности точки x0=−1x_0 = -1 имеет вид:P(x)=P(−1)+P′(−1)1!(x+1)+P′′(−1)2!(x+1)2+P′′′(−1)3!(x+1)3P(x) = P(-1) + \frac{P'(-1)}{1!}(x+1) + \frac{P''(-1)}{2!}(x+1)^2 + \frac{P'''(-1)}{3!}(x+1)^3(Остаточный член равен нулю, так как степени свыше третьей для данного многочлена обращаются в нуль при дифференцировании).
Вычислим значения самого многочлена и его производных в точке x0=−1x_0 = -1:

— P(x)=1+3x+5x2−2x3P(x) = 1 + 3x + 5x^2 - 2x^3P(−1)=1+3(−1)+5(−1)2−2(−1)3=1−3+5+2=5P(-1) = 1 + 3(-1) + 5(-1)^2 - 2(-1)^3 = 1 - 3 + 5 + 2 = 5— P′(x)=3+10x−6x2P'(x) = 3 + 10x - 6x^2P′(−1)=3+10(−1)−6(−1)2=3−10−6=−13P'(-1) = 3 + 10(-1) - 6(-1)^2 = 3 - 10 - 6 = -13— P′′(x)=10−12xP''(x) = 10 - 12xP′′(−1)=10−12(−1)=10+12=22P''(-1) = 10 - 12(-1) = 10 + 12 = 22— P′′′(x)=−12P'''(x) = -12P′′′(−1)=−12P'''(-1) = -12

Проверка

Подставим найденные значения в формулу Тейлора:P(x)=5+−131(x+1)+222(x+1)2+−126(x+1)3P(x) = 5 + \frac{-13}{1}(x+1) + \frac{22}{2}(x+1)^2 + \frac{-12}{6}(x+1)^3Выполнив деление на факториалы, получаем искомое разложение:P(x)=5−13(x+1)+11(x+1)2−2(x+1)3P(x) = 5 - 13(x+1) + 11(x+1)^2 - 2(x+1)^3
Демидович № 1376 — решение и ответ