Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1392

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1392

Найти разложение функцииf(h)=ln⁡(x+h)(x>0)f(h)=\ln(x+h)\qquad(x>0)по целым неотрицательным степеням приращения hh до члена с hnh^n (nn — натуральное число).
Ответ:ln⁡x+∑k=1n(−1)k−1hkkxk\ln x + \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k-1} \frac{h^k}{k x^k}.

Решение

Идея

Преобразуем выражение под логарифмом, вынеся xx за скобку:
f(h)=ln⁡(x(1+hx))=ln⁡x+ln⁡(1+hx)f(h) = \ln\left( x \left( 1 + \frac{h}{x} \right) \right) = \ln x + \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)Воспользуемся известным разложением Маклорена для логарифма:ln⁡(1+u)=∑k=1n(−1)k−1ukk+o(un)\ln(1+u) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \frac{u^k}{k} + o(u^n)В нашем случае u=hxu = \frac{h}{x}. Подставим это значение в формулу:ln⁡(1+hx)=hx−h22x2+h33x3−⋯+(−1)n−1hnnxn+o(hn)\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right) = \frac{h}{x} - \frac{h^2}{2x^2} + \frac{h^3}{3x^3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{h^n}{n x^n} + o(h^n)Добавляя ln⁡x\ln x, получаем искомое разложение функции:f(h)=ln⁡x+hx−h22x2+h33x3−⋯+(−1)n−1hnnxn+o(hn)f(h) = \ln x + \frac{h}{x} - \frac{h^2}{2x^2} + \frac{h^3}{3x^3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{h^n}{n x^n} + o(h^n)
Демидович № 1392 — решение и ответ