Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1392

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти разложение функции

f(h)=\ln(x+h)\qquad(x>0)

по целым неотрицательным степеням приращения

h

до члена с

h^n

(

n

— натуральное число).

Ответ:

\ln x + \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k-1} \frac{h^k}{k x^k}

Решение

Преобразуем выражение под логарифмом, вынеся

x

за скобку:

f(h) = \ln\left( x \left( 1 + \frac{h}{x} \right) \right) = \ln x + \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)

Воспользуемся известным разложением Маклорена для логарифма:

\ln(1+u) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \frac{u^k}{k} + o(u^n)

В нашем случае

u = \frac{h}{x}

. Подставим это значение в формулу:

\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right) = \frac{h}{x} - \frac{h^2}{2x^2} + \frac{h^3}{3x^3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{h^n}{n x^n} + o(h^n)

Добавляя

\ln x

, получаем искомое разложение функции:

f(h) = \ln x + \frac{h}{x} - \frac{h^2}{2x^2} + \frac{h^3}{3x^3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{h^n}{n x^n} + o(h^n)