Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1413

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1413

Оценить относительную погрешность следующего правила Чебышева: круговая дуга приближённо равна сумме боковых сторон равнобедренного треугольника, построенного на хорде этой дуги и имеющего высотой43\sqrt{\frac43}её стрелки.
Ответ:δ=α4/180+O(α6)=φ4/2880+O(φ6)\delta=\alpha^4/180+O(\alpha^6)=\varphi^4/2880+O(\varphi^6), где φ=2α\varphi=2\alpha — полный центральный угол в радианах.

Решение

Пусть RR — радиус окружности, а α>0\alpha>0 — половина малого центрального угла дуги. Точная длина дуги равна s=2Rαs=2R\alpha. Длина хорды и стрелка сегмента:b=2Rsin⁡α,h=R(1−cos⁡α).b=2R\sin\alpha,\qquad h=R(1-\cos\alpha).По правилу Чебышева высота равнобедренного треугольника равна H=4/3 hH=\sqrt{4/3}\,h. Половина основания равна b/2b/2, поэтому длина одной боковой стороны по теореме Пифагора равнаL=(b/2)2+H2=Rsin⁡2α+43(1−cos⁡α)2.L=\sqrt{(b/2)^2+H^2}
=R\sqrt{\sin^2\alpha+\frac43(1-\cos\alpha)^2}.Приближённая длина дуги — 2L2L. Точное выражение для её относительной погрешности:δ=∣s−2L∣s=∣1−sin⁡2α+43(1−cos⁡α)2α∣.\delta=\frac{|s-2L|}{s}
=\left|1-\frac{\sqrt{\sin^2\alpha+\frac43(1-\cos\alpha)^2}}\alpha\right|.Чтобы определить главный член ошибки, применим формулы Тейлора:sin⁡α=α−α36+α5120+O(α7),1−cos⁡α=α22−α424+O(α6).\sin\alpha=\alpha-\frac{\alpha^3}6+\frac{\alpha^5}{120}+O(\alpha^7),\qquad
1-\cos\alpha=\frac{\alpha^2}2-\frac{\alpha^4}{24}+O(\alpha^6).При возведении в квадрат получаемsin⁡2α=α2−α43+(136+160)α6+O(α8)=α2−α43+2α645+O(α8),\sin^2\alpha=\alpha^2-\frac{\alpha^4}3+
\left(\frac1{36}+\frac1{60}\right)\alpha^6+O(\alpha^8)
=\alpha^2-\frac{\alpha^4}3+\frac{2\alpha^6}{45}+O(\alpha^8),(1−cos⁡α)2=α44−2α22α424+O(α8)=α44−α624+O(α8).(1-\cos\alpha)^2=\frac{\alpha^4}4-
2\frac{\alpha^2}2\frac{\alpha^4}{24}+O(\alpha^8)
=\frac{\alpha^4}4-\frac{\alpha^6}{24}+O(\alpha^8).Коэффициент 2/452/45 в первой строке равен (5+3)/180(5+3)/180. Складываем выражения с нужным множителем:sin⁡2α+43(1−cos⁡α)2=\displaystyle \sin^2\alpha+\frac43(1-\cos\alpha)^2\mathrel{=}α2+(−13+4314)α4+(245−43124)α6+O(α8)=\displaystyle \alpha^2+\left(-\frac13+\frac43\frac14\right)\alpha^4
+\left(\frac2{45}-\frac43\frac1{24}\right)\alpha^6+O(\alpha^8)\mathrel{=}α2+0⋅α4+(490−590)α6+O(α8)=\displaystyle \alpha^2+0\cdot\alpha^4+\left(\frac4{90}-\frac5{90}\right)\alpha^6+O(\alpha^8)\mathrel{=}α2−α690+O(α8).\displaystyle \alpha^2-\frac{\alpha^6}{90}+O(\alpha^8).Поскольку α>0\alpha>0, после извлечения корняLRα=1−α490+O(α6)=1−α4180+O(α6).\frac L{R\alpha}
=\sqrt{1-\frac{\alpha^4}{90}+O(\alpha^6)}
=1-\frac{\alpha^4}{180}+O(\alpha^6).Использована формула 1+u=1+u/2+O(u2)\sqrt{1+u}=1+u/2+O(u^2); здесь u=O(α4)u=O(\alpha^4), поэтому u2=O(α8)u^2=O(\alpha^8) не изменяет остаток O(α6)O(\alpha^6).

Следовательно,δ=α4180+O(α6),α→0+.\delta=\frac{\alpha^4}{180}+O(\alpha^6),\qquad\alpha\to0+.Для полного центрального угла φ=2α\varphi=2\alpha это означаетδ=φ42880+O(φ6).\delta=\frac{\varphi^4}{2880}+O(\varphi^6).Таким образом, относительная погрешность имеет четвёртый порядок по углу. Формула φ4/2880\varphi^4/2880 задаёт её главный член при малых углах; для заданного конечного угла точная ошибка вычисляется по выражению с модулем выше.
Демидович № 1413 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика