Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1413

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1413

Оценить относительную погрешность следующего правила Чебышева: круговая дуга приближённо равна сумме боковых сторон равнобедренного треугольника, построенного на хорде этой дуги и имеющего высотой43\sqrt{\frac43}её стрелки.
Ответ:Относительная погрешность равна ≈α4180\approx \dfrac{\alpha^4}{180} (или φ42880\dfrac{\varphi^4}{2880}, где φ\varphi — полный угловой размер дуги).

Решение

Идея

Обозначим радиус окружности через RR, а половину центрального угла, опирающегося на дугу, через α\alpha.
Истинная длина дуги равна s=2Rαs = 2R\alpha.
Длина хорды дуги составляет b=2Rsin⁡αb = 2R\sin\alpha.
Стрелка дуги (высота сегмента) равна h=R(1−cos⁡α)=2Rsin⁡2α2h = R(1-\cos\alpha) = 2R\sin^2\frac{\alpha}{2}.

Проверка

По правилу Чебышева строится равнобедренный треугольник с основанием bb и высотой H=43hH = \sqrt{\frac{4}{3}}h. Сумма его боковых сторон равна 2L2L, где LL — боковая сторона:L=(b2)2+H2=R2sin⁡2α+43R2(1−cos⁡α)2=Rsin⁡2α+43(1−cos⁡α)2L = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + H^2} = \sqrt{R^2\sin^2\alpha + \frac{4}{3}R^2(1-\cos\alpha)^2} = R\sqrt{\sin^2\alpha + \frac{4}{3}(1-\cos\alpha)^2}Найдём разложение выражения под корнем по степеням α\alpha при α→0\alpha \to 0:sin⁡2α=(α−α36+α5120+… )2=α2−α43+2α645+O(α8)\sin^2\alpha = \left(\alpha - \frac{\alpha^3}{6} + \frac{\alpha^5}{120} + \dots\right)^2 = \alpha^2 - \frac{\alpha^4}{3} + \frac{2\alpha^6}{45} + O(\alpha^8)(1−cos⁡α)2=(α22−α424+… )2=α44−α624+O(α8)(1-\cos\alpha)^2 = \left(\frac{\alpha^2}{2} - \frac{\alpha^4}{24} + \dots\right)^2 = \frac{\alpha^4}{4} - \frac{\alpha^6}{24} + O(\alpha^8)Подставим это в подкоренное выражение:
\begin{align*}
\sin^2\alpha + \frac{4}{3}(1-\cos\alpha)^2 &= \alpha^2 - \frac{\alpha^4}{3} + \frac{2\alpha^6}{45} + \frac{4}{3}\left(\frac{\alpha^4}{4} - \frac{\alpha^6}{24}\right) + O(\alpha^8)
&= \alpha^2 - \frac{\alpha^4}{3} + \frac{2\alpha^6}{45} + \frac{\alpha^4}{3} - \frac{\alpha^6}{18} + O(\alpha^8)
&= \alpha^2 + \left(\frac{2}{45} - \frac{1}{18}\right)\alpha^6 + O(\alpha^8) = \alpha^2 - \frac{\alpha^6}{90} + O(\alpha^8)
\end{align*}
Обратите внимание, что слагаемые с α4\alpha^4 взаимно уничтожились.
Извлекаем квадратный корень, используя биномиальное разложение (1+t)12≈1+12t(1+t)^{\frac{1}{2}} \approx 1 + \frac{1}{2}t:L=Rα2−α690=Rα1−α490≈Rα(1−α4180)L = R\sqrt{\alpha^2 - \frac{\alpha^6}{90}} = R\alpha\sqrt{1 - \frac{\alpha^4}{90}} \approx R\alpha\left(1 - \frac{\alpha^4}{180}\right)Следовательно, приближённая длина дуги по правилу Чебышева:2L≈2Rα−2Rαα41802L \approx 2R\alpha - 2R\alpha\frac{\alpha^4}{180}Абсолютная погрешность составляет Δ=2Rα−2L≈2Rαα4180\Delta = 2R\alpha - 2L \approx 2R\alpha\frac{\alpha^4}{180}.
Относительная погрешность δ\delta вычисляется как отношение абсолютной погрешности к точному значению:δ=Δs≈2Rαα41802Rα=α4180\delta = \frac{\Delta}{s} \approx \frac{2R\alpha\frac{\alpha^4}{180}}{2R\alpha} = \frac{\alpha^4}{180}Если выразить погрешность через полный центральный угол дуги φ=2α\varphi = 2\alpha, получим:δ≈(φ/2)4180=φ42880\delta \approx \frac{(\varphi/2)^4}{180} = \frac{\varphi^4}{2880}
Демидович № 1413 — решение и ответ