Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10. Формула Тейлора

Демидович — задача 1409

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Для бесконечно малой при x→0x\to0 величины yy определить главный член вида CxnCx^n, если:

Задача 1409

y=1−(1+x)1xe.y=1-\frac{(1+x)^{\frac1x}}{e}.
Ответ:12x\dfrac{1}{2}x.

Решение

Преобразуем выражение:(1+x)1x=e1xln⁡(1+x)(1+x)^{\frac1x} = e^{\frac{1}{x}\ln(1+x)}Разложим логарифм по формуле Маклорена:ln⁡(1+x)=x−x22+x33+o(x3)\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)Разделим на xx:1xln⁡(1+x)=1−x2+x23+o(x2)\frac{1}{x}\ln(1+x) = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)Подставим это в показатель экспоненты:e1xln⁡(1+x)=e1−x2+x23+o(x2)=e⋅e−x2+x23+o(x2)e^{\frac{1}{x}\ln(1+x)} = e^{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)}Разложим полученную экспоненту по формуле et=1+t+o(t)e^t = 1 + t + o(t) при t=−x2+o(x)t = -\frac{x}{2} + o(x):e−x2+o(x)=1−x2+o(x)e^{-\frac{x}{2} + o(x)} = 1 - \frac{x}{2} + o(x)Тогда:(1+x)1x=e(1−x2+o(x))(1+x)^{\frac1x} = e \left(1 - \frac{x}{2} + o(x)\right)Возвращаемся к исходной функции yy:y=1−e(1−x2+o(x))e=1−(1−x2+o(x))=x2+o(x)y = 1 - \frac{e\left(1 - \frac{x}{2} + o(x)\right)}{e} = 1 - \left(1 - \frac{x}{2} + o(x)\right) = \frac{x}{2} + o(x)Главный член равен x2\frac{x}{2}.